log(2*x+1)<1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: log(2*x+1)<1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

log(2*x + 1) < 1

$$\log{\left (2 x + 1 \right )} < 1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\log{\left (2 x + 1 \right )} < 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\log{\left (2 x + 1 \right )} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\log{\left (2 x + 1 \right )} = 1$$
$$\log{\left (2 x + 1 \right )} = 1$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда
$$2 x + 1 = e^{1}$$
упрощаем
$$2 x + 1 = e$$
$$2 x = -1 + e$$
$$x = - \frac{1}{2} + \frac{e}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{e}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{e}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{e}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + - \frac{1}{2} + \frac{e}{2}$$
=
$$- \frac{3}{5} + \frac{e}{2}$$
подставляем в выражение
$$\log{\left (2 x + 1 \right )} < 1$$
$$\log{\left (1 + 2 \left(- \frac{1}{10} + - \frac{1}{2} + \frac{e}{2}\right) \right )} < 1$$

log(-1/5 + E) < 1

значит решение неравенства будет при:
$$x < - \frac{1}{2} + \frac{e}{2}$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

   /               1   E\
And|-oo < x, x < - - + -|
   \               2   2/

$$-\infty < x \wedge x < - \frac{1}{2} + \frac{e}{2}$$

Быстрый ответ 2

        1   E 
(-oo, - - + -)
        2   2 

$$x \in \left(-\infty, - \frac{1}{2} + \frac{e}{2}\right)$$