log(2)^x<=3 (неравенство)

Укажите решение неравенства: log(2)^x<=3 (множество решений неравенства)

Вы ввели

   x        
log (2) <= 3

$$\log{\left(2 \right)}^{x} \leq 3$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\log{\left(2 \right)}^{x} \leq 3$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\log{\left(2 \right)}^{x} = 3$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\log{\left(2 \right)}^{x} = 3$$
или
$$\log{\left(2 \right)}^{x} - 3 = 0$$
или
$$\log{\left(2 \right)}^{x} = 3$$
или
$$\log{\left(2 \right)}^{x} = 3$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = \log{\left(2 \right)}^{x}$$
получим
$$v - 3 = 0$$
или
$$v - 3 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = 3$$
делаем обратную замену
$$\log{\left(2 \right)}^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)}}$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{1} = 3$$
Данные корни
$$x_{1} = 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 3$$
=
$$\frac{29}{10}$$
подставляем в выражение
$$\log{\left(2 \right)}^{x} \leq 3$$
$$\log{\left(2 \right)}^{\frac{29}{10}} \leq 3$$

        29     
        --     
        10 <= 3
(log(2))       
     

значит решение неравенства будет при:
$$x \leq 3$$

 _____          
      \    
-------•-------
       x_1

Быстрый ответ

   log(3)       
----------- <= x
log(log(2))     

$$\frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)}} \leq x$$

Быстрый ответ 2

    log(3)       
[-----------, oo)
 log(log(2))     

$$x\ in\ \left[\frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)}}, \infty\right)$$

График