log(2)^x<-2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: log(2)^x<-2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

   x        
log (2) < -2

$$\log{\left(2 \right)}^{x} < -2$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\log{\left(2 \right)}^{x} < -2$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\log{\left(2 \right)}^{x} = -2$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\log{\left(2 \right)}^{x} = -2$$
или
$$\log{\left(2 \right)}^{x} + 2 = 0$$
или
$$\log{\left(2 \right)}^{x} = -2$$
или
$$\log{\left(2 \right)}^{x} = -2$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = \log{\left(2 \right)}^{x}$$
получим
$$v + 2 = 0$$
или
$$v + 2 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = -2$$
делаем обратную замену
$$\log{\left(2 \right)}^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)}}$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{1} = -2$$
Данные корни
$$x_{1} = -2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-2 - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
подставляем в выражение
$$\log{\left(2 \right)}^{x} < -2$$
$$\frac{1}{\log{\left(2 \right)}^{\frac{21}{10}}} < -2$$

    1          
----------     
        21     
        -- < -2
        10     
(log(2))       
     

но

    1          
----------     
        21     
        -- > -2
        10     
(log(2))       
     

Тогда
$$x < -2$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > -2$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x_1

Быстрый ответ

Данное неравенство не имеет решений

График