log(5)^x<2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: log(5)^x<2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

   x       
log (5) < 2

$$\log{\left(5 \right)}^{x} < 2$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\log{\left(5 \right)}^{x} < 2$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\log{\left(5 \right)}^{x} = 2$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\log{\left(5 \right)}^{x} = 2$$
или
$$\log{\left(5 \right)}^{x} - 2 = 0$$
или
$$\log{\left(5 \right)}^{x} = 2$$
или
$$\log{\left(5 \right)}^{x} = 2$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = \log{\left(5 \right)}^{x}$$
получим
$$v - 2 = 0$$
или
$$v - 2 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = 2$$
делаем обратную замену
$$\log{\left(5 \right)}^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(\log{\left(5 \right)} \right)}}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Данные корни
$$x_{1} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 2$$
=
$$\frac{19}{10}$$
подставляем в выражение
$$\log{\left(5 \right)}^{x} < 2$$
$$\log{\left(5 \right)}^{\frac{19}{10}} < 2$$

        19    
        --    
        10 < 2
(log(5))      
    

но

        19    
        --    
        10 > 2
(log(5))      
    

Тогда
$$x < 2$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > 2$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

       log(2)  
x < -----------
    log(log(5))

$$x < \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(\log{\left(5 \right)} \right)}}$$

Быстрый ответ 2

         log(2)   
(-oo, -----------)
      log(log(5)) 

$$x\ in\ \left(-\infty, \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(\log{\left(5 \right)} \right)}}\right)$$

График