Решите неравенство log(7,x-1)>=2 (логарифм от (7, х минус 1) больше или равно 2) - Укажите множество решений неравенства подробно по-шагам. [Есть ответ!]
Решение неравенств/ log(7,x-1)>=2

log(7,x-1)>=2 (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: log(7,x-1)>=2 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
      log(7)       
---------- >= 2
log(x - 1)
    $$\frac{\log{\left (7 \right )}}{\log{\left (x - 1 \right )}} \geq 2$$
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    $$\frac{\log{\left (7 \right )}}{\log{\left (x - 1 \right )}} \geq 2$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{\log{\left (7 \right )}}{\log{\left (x - 1 \right )}} = 2$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\frac{\log{\left (7 \right )}}{\log{\left (x - 1 \right )}} = 2$$
    преобразуем
    $$-2 + \frac{\log{\left (7 \right )}}{\log{\left (x - 1 \right )}} = 0$$
    $$-2 + \frac{\log{\left (7 \right )}}{\log{\left (x - 1 \right )}} = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \log{\left (x - 1 \right )}$$
    Дано уравнение:
    $$-2 + \frac{\log{\left (7 \right )}}{\log{\left (x - 1 \right )}} = 0$$
    Используем правило пропорций:
    Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
    В нашем случае
    a1 = log(7)

    b1 = log(-1 + x)

    a2 = 1

    b2 = 1/2

    зн. получим ур-ние
    $$\frac{1}{2} \log{\left (7 \right )} = \log{\left (x - 1 \right )}$$
    $$\frac{1}{2} \log{\left (7 \right )} = \log{\left (x - 1 \right )}$$
    Раскрываем скобочки в левой части ур-ния
    log7/2 = log(-1 + x)

    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    log7/2 = log-1+x

    Данное ур-ние не имеет решений
    делаем обратную замену
    $$\log{\left (x - 1 \right )} = w$$
    Дано уравнение
    $$\log{\left (x - 1 \right )} = w$$
    $$\log{\left (x - 1 \right )} = w$$
    Это уравнение вида:
    log(v)=p

    По определению log
    v=e^p

    тогда
             w
         -
         1
x - 1 = e

    упрощаем
    $$x - 1 = e^{w}$$
    $$x = e^{w} + 1$$
    подставляем w:
    $$x_{1} = 1 + \sqrt{7}$$
    $$x_{1} = 1 + \sqrt{7}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = 1 + \sqrt{7}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{1}{10} + 1 + \sqrt{7}$$
    =
    $$\frac{9}{10} + \sqrt{7}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{\log{\left (7 \right )}}{\log{\left (x - 1 \right )}} \geq 2$$
    $$\frac{\log{\left (7 \right )}}{\log{\left (-1 + - \frac{1}{10} + 1 + \sqrt{7} \right )}} \geq 2$$
          log(7)          
-----------------     
   /  1      ___\ >= 2
log|- -- + \/ 7 |     
   \  10        /

    значит решение неравенства будет при:
    $$x \leq 1 + \sqrt{7}$$
     _____          
      \    
-------•-------
       x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ [src]
       /           ___       \
And\x <= 1 + \/ 7 , 2 < x/
    $$x \leq 1 + \sqrt{7} \wedge 2 < x$$
    Быстрый ответ 2 [src]
              ___ 
(2, 1 + \/ 7 ]
    $$x \in \left(2, 1 + \sqrt{7}\right]$$