log(sin(x))>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: log(sin(x))>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

log(sin(x)) > 0

$$\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = 0$$
преобразуем
$$\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = 0$$
$$\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Дано уравнение
$$\log{\left(w \right)} = 0$$
$$\log{\left(w \right)} = 0$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда
$$1 w + 0 = e^{\frac{0}{1}}$$
упрощаем
$$w = 1$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2}$$
подставляем в выражение
$$\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} > 0$$
$$\log{\left(\sin{\left(- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2} \right)} \right)} > 0$$

log(cos(1/10)) > 0

Тогда
$$x < \frac{\pi}{2}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > \frac{\pi}{2}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

Данное неравенство не имеет решений