log(sin(x))<=-1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: log(sin(x))<=-1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

log(sin(x)) <= -1

$$\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \leq -1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \leq -1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = -1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = -1$$
преобразуем
$$\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + 1 = 0$$
$$\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$$
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$w = -1$$
Получим ответ: w = -1
делаем обратную замену
$$\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = - \operatorname{asin}{\left (e^{-1} \right )} + \pi$$
$$x_{2} = \operatorname{asin}{\left (e^{-1} \right )}$$
$$x_{1} = - \operatorname{asin}{\left (e^{-1} \right )} + \pi$$
$$x_{2} = \operatorname{asin}{\left (e^{-1} \right )}$$
Данные корни
$$x_{2} = \operatorname{asin}{\left (e^{-1} \right )}$$
$$x_{1} = - \operatorname{asin}{\left (e^{-1} \right )} + \pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \operatorname{asin}{\left (e^{-1} \right )}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \operatorname{asin}{\left (e^{-1} \right )}$$
подставляем в выражение
$$\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \leq -1$$
$$\log{\left (\sin{\left (- \frac{1}{10} + \operatorname{asin}{\left (e^{-1} \right )} \right )} \right )} \leq -1$$

   /    /1        / -1\\\      
log|-sin|-- - asin\e  /|| <= -1
   \    \10            //      

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq \operatorname{asin}{\left (e^{-1} \right )}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq \operatorname{asin}{\left (e^{-1} \right )}$$
$$x \geq - \operatorname{asin}{\left (e^{-1} \right )} + \pi$$

Быстрый ответ

  /   /         / -1\         \               / -1\\
Or\And\x <= asin\e  /, -oo < x/, x = pi - asin\e  //

$$\left(x \leq \operatorname{asin}{\left (e^{-1} \right )} \wedge -\infty < x\right) \vee x = - \operatorname{asin}{\left (e^{-1} \right )} + \pi$$

Быстрый ответ 2

          / -1\              / -1\ 
(-oo, asin\e  /] U {pi - asin\e  /}

$$x \in \left(-\infty, \operatorname{asin}{\left (e^{-1} \right )}\right] \cup \left\{- \operatorname{asin}{\left (e^{-1} \right )} + \pi\right\}$$

График