log(x+1)<=2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: log(x+1)<=2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

log(x + 1) <= 2

$$\log{\left(x + 1 \right)} \leq 2$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\log{\left(x + 1 \right)} \leq 2$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\log{\left(x + 1 \right)} = 2$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\log{\left(x + 1 \right)} = 2$$
$$\log{\left(x + 1 \right)} = 2$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда
$$1 x + 1 = e^{\frac{2}{1}}$$
упрощаем
$$x + 1 = e^{2}$$
$$x = -1 + e^{2}$$
$$x_{1} = -1 + e^{2}$$
$$x_{1} = -1 + e^{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = -1 + e^{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} - \left(1 - e^{2}\right)$$
=
$$- \frac{11}{10} + e^{2}$$
подставляем в выражение
$$\log{\left(x + 1 \right)} \leq 2$$
$$\log{\left(1 - \left(\frac{11}{10} - e^{2}\right) \right)} \leq 2$$

   /  1     2\     
log|- -- + e | <= 2
   \  10     /     

значит решение неравенства будет при:
$$x \leq -1 + e^{2}$$

 _____          
      \    
-------•-------
       x_1

Быстрый ответ

   /           2        \
And\x <= -1 + e , -1 < x/

$$x \leq -1 + e^{2} \wedge -1 < x$$

Быстрый ответ 2

           2 
(-1, -1 + e ]

$$x\ in\ \left(-1, -1 + e^{2}\right]$$

График