log(x)*512<=log(2)*64/x (неравенство)

Укажите решение неравенства: log(x)*512<=log(2)*64/x (множество решений неравенства)

Вы ввели

                        1
log(x)*512 <= log(2)*64*-
                        x

$$\log{\left(x \right)} 512 \leq \log{\left(2 \right)} 64 \cdot \frac{1}{x}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\log{\left(x \right)} 512 \leq \log{\left(2 \right)} 64 \cdot \frac{1}{x}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\log{\left(x \right)} 512 = \log{\left(2 \right)} 64 \cdot \frac{1}{x}$$
Решаем:
$$x_{1} = e^{W\left(\frac{\log{\left(2 \right)}}{8}\right)}$$
$$x_{1} = e^{W\left(\frac{\log{\left(2 \right)}}{8}\right)}$$
Данные корни
$$x_{1} = e^{W\left(\frac{\log{\left(2 \right)}}{8}\right)}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{W\left(\frac{\log{\left(2 \right)}}{8}\right)}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{W\left(\frac{\log{\left(2 \right)}}{8}\right)}$$
подставляем в выражение
$$\log{\left(x \right)} 512 \leq \log{\left(2 \right)} 64 \cdot \frac{1}{x}$$
$$\log{\left(- \frac{1}{10} + e^{W\left(\frac{\log{\left(2 \right)}}{8}\right)} \right)} 512 \leq \log{\left(2 \right)} 64 \cdot \frac{1}{- \frac{1}{10} + e^{W\left(\frac{\log{\left(2 \right)}}{8}\right)}}$$

                                  64*log(2)    
       /         /log(2)\\    -----------------
       |        W|------||             /log(2)\
       |  1      \  8   /| <=         W|------|
512*log|- -- + e         |      1      \  8   /
       \  10             /    - -- + e         
                                10             

значит решение неравенства будет при:
$$x \leq e^{W\left(\frac{\log{\left(2 \right)}}{8}\right)}$$

 _____          
      \    
-------•-------
       x1

Быстрый ответ

   /              /log(2)\       \
   |      LambertW|------|       |
   |              \  8   /       |
And\x <= e                , 0 < x/

$$x \leq e^{\operatorname{LambertW}{\left (\frac{1}{8} \log{\left (2 \right )} \right )}} \wedge 0 < x$$

Быстрый ответ 2

             /log(2)\ 
     LambertW|------| 
             \  8   / 
(0, e                ]

$$x \in \left(0, e^{\operatorname{LambertW}{\left (\frac{1}{8} \log{\left (2 \right )} \right )}}\right]$$