|x|>|x+1| (неравенство)

Укажите решение неравенства: |x|>|x+1| (множество решений неравенства)

Вы ввели

|x| > |x + 1|

$$\left|{x}\right| > \left|{x + 1}\right|$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left|{x}\right| > \left|{x + 1}\right|$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{x}\right| = \left|{x + 1}\right|$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.

1.
$$x + 1 \geq 0$$
$$x \geq 0$$
или
$$0 \leq x \wedge x < \infty$$
получаем ур-ние
$$x - \left(x + 1\right) = 0$$
упрощаем, получаем
неверно
решение на этом интервале:

2.
$$x + 1 \geq 0$$
$$x < 0$$
или
$$-1 \leq x \wedge x < 0$$
получаем ур-ние
$$- x - \left(x + 1\right) = 0$$
упрощаем, получаем
$$- 2 x - 1 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$

3.
$$x + 1 < 0$$
$$x \geq 0$$
Неравенства не выполняются, пропускаем

4.
$$x + 1 < 0$$
$$x < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < -1$$
получаем ур-ние
$$- x - \left(- x - 1\right) = 0$$
упрощаем, получаем
неверно
решение на этом интервале:


$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{3}{5}$$
подставляем в выражение
$$\left|{x}\right| > \left|{x + 1}\right|$$
$$\left|{- \frac{3}{5}}\right| > \left|{- \frac{3}{5} + 1}\right|$$

3/5 > 2/5

значит решение неравенства будет при:
$$x < - \frac{1}{2}$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

And(-oo < x, x < -1/2)

$$-\infty < x \wedge x < - \frac{1}{2}$$

Быстрый ответ 2

(-oo, -1/2)

$$x\ in\ \left(-\infty, - \frac{1}{2}\right)$$

График