|x|/(x+2)<2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: |x|/(x+2)<2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 |x|     
----- < 2
x + 2    

$$\frac{\left|{x}\right|}{x + 2} < 2$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\frac{\left|{x}\right|}{x + 2} < 2$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\frac{\left|{x}\right|}{x + 2} = 2$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.

1.
$$x \geq 0$$
или
$$0 \leq x \wedge x < \infty$$
получаем ур-ние
$$\frac{x}{x + 2} - 2 = 0$$
упрощаем, получаем
$$\frac{x}{x + 2} - 2 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = -4$$
но x1 не удовлетворяет неравенству

2.
$$x < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < 0$$
получаем ур-ние
$$\frac{-1 x}{x + 2} - 2 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- \frac{x}{x + 2} - 2 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{2} = - \frac{4}{3}$$


$$x_{1} = - \frac{4}{3}$$
$$x_{1} = - \frac{4}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{4}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{43}{30}$$
=
$$- \frac{43}{30}$$
подставляем в выражение
$$\frac{\left|{x}\right|}{x + 2} < 2$$
$$\frac{\left|{- \frac{43}{30}}\right|}{- \frac{43}{30} + 2} < 2$$

43    
-- < 2
17    

но

43    
-- > 2
17    

Тогда
$$x < - \frac{4}{3}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > - \frac{4}{3}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

Or(And(-oo < x, x < -2), And(-4/3 < x, x < oo))

$$\left(-\infty < x \wedge x < -2\right) \vee \left(- \frac{4}{3} < x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

(-oo, -2) U (-4/3, oo)

$$x \in \left(-\infty, -2\right) \cup \left(- \frac{4}{3}, \infty\right)$$