|x-2|<a (неравенство)

Укажите решение неравенства: |x-2|<a (множество решений неравенства)

Вы ввели

|x - 2| < a

$$\left|{x - 2}\right| < a$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left|{x - 2}\right| < a$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{x - 2}\right| = a$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.

1.
$$x - 2 \geq 0$$
или
$$2 \leq x \wedge x < \infty$$
получаем ур-ние
$$- a + x - 2 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- a + x - 2 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = a + 2$$

2.
$$x - 2 < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < 2$$
получаем ур-ние
$$- a + - x + 2 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- a - x + 2 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{2} = - a + 2$$


$$x_{1} = a + 2$$
$$x_{2} = - a + 2$$
$$x_{1} = a + 2$$
$$x_{2} = - a + 2$$
Данные корни
$$x_{1} = a + 2$$
$$x_{2} = - a + 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$a + 2 + - \frac{1}{10}$$
=
$$a + \frac{19}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left|{x - 2}\right| < a$$
$$\left|{a + 2 + - \frac{1}{10} - 2}\right| < a$$

|-1/10 + a| < a

Тогда
$$x < a + 2$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > a + 2 \wedge x < - a + 2$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2