|x-2|<1/5 (неравенство)
Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Укажите решение неравенства: |x-2|<1/5 (множество решений неравенства)
Решение
Подробное решение
$$\left|{x - 2}\right| < \frac{1}{5}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{x - 2}\right| = \frac{1}{5}$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.
1.
$$x - 2 \geq 0$$
или
$$2 \leq x \wedge x < \infty$$
получаем ур-ние
$$x - 2 - \frac{1}{5} = 0$$
упрощаем, получаем
$$x - \frac{11}{5} = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = \frac{11}{5}$$
2.
$$x - 2 < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < 2$$
получаем ур-ние
$$- x + 2 - \frac{1}{5} = 0$$
упрощаем, получаем
$$- x + \frac{9}{5} = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{2} = \frac{9}{5}$$
$$x_{1} = \frac{11}{5}$$
$$x_{2} = \frac{9}{5}$$
$$x_{1} = \frac{11}{5}$$
$$x_{2} = \frac{9}{5}$$
Данные корни
$$x_{2} = \frac{9}{5}$$
$$x_{1} = \frac{11}{5}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{17}{10}$$
=
$$\frac{17}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left|{x - 2}\right| < \frac{1}{5}$$
$$\left|{-2 + \frac{17}{10}}\right| < \frac{1}{5}$$
3/10 < 1/5
но
3/10 > 1/5
Тогда
$$x < \frac{9}{5}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > \frac{9}{5} \wedge x < \frac{11}{5}$$
_____
/ \
-------ο-------ο-------
x2 x1
Решение неравенства на графике