|x-2|<1+|x| (неравенство)
Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Укажите решение неравенства: |x-2|<1+|x| (множество решений неравенства)
Решение
Подробное решение
$$\left|{x - 2}\right| < \left|{x}\right| + 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{x - 2}\right| = \left|{x}\right| + 1$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.
1.
$$x \geq 0$$
$$x - 2 \geq 0$$
или
$$2 \leq x \wedge x < \infty$$
получаем ур-ние
$$- x + x - 2 - 1 = 0$$
упрощаем, получаем
неверно
решение на этом интервале:
Не найдены корни при этом условии
2.
$$x \geq 0$$
$$x - 2 < 0$$
или
$$0 \leq x \wedge x < 2$$
получаем ур-ние
$$- x + - x + 2 - 1 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- 2 x + 1 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
3.
$$x < 0$$
$$x - 2 \geq 0$$
Неравенства не выполняются, пропускаем
4.
$$x < 0$$
$$x - 2 < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < 0$$
получаем ур-ние
$$- -1 x + - x + 2 - 1 = 0$$
упрощаем, получаем
неверно
решение на этом интервале:
Не найдены корни при этом условии
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{2}{5}$$
=
$$\frac{2}{5}$$
подставляем в выражение
$$\left|{x - 2}\right| < \left|{x}\right| + 1$$
$$\left|{-2 + \frac{2}{5}}\right| < \left|{\frac{2}{5}}\right| + 1$$
8/5 < 7/5
но
8/5 > 7/5
Тогда
$$x < \frac{1}{2}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > \frac{1}{2}$$
_____
/
-------ο-------
x1
Решение неравенства на графике