|x-2|<8 (неравенство)
Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Укажите решение неравенства: |x-2|<8 (множество решений неравенства)
Решение
Подробное решение
$$\left|{x - 2}\right| < 8$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{x - 2}\right| = 8$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.
1.
$$x - 2 \geq 0$$
или
$$2 \leq x \wedge x < \infty$$
получаем ур-ние
$$x - 2 - 8 = 0$$
упрощаем, получаем
$$x - 10 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = 10$$
2.
$$x - 2 < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < 2$$
получаем ур-ние
$$- x + 2 - 8 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- x - 6 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{2} = -6$$
$$x_{1} = 10$$
$$x_{2} = -6$$
$$x_{1} = 10$$
$$x_{2} = -6$$
Данные корни
$$x_{2} = -6$$
$$x_{1} = 10$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{61}{10}$$
=
$$- \frac{61}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left|{x - 2}\right| < 8$$
$$\left|{- \frac{61}{10} - 2}\right| < 8$$
81 -- < 8 10
но
81 -- > 8 10
Тогда
$$x < -6$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -6 \wedge x < 10$$
_____
/ \
-------ο-------ο-------
x2 x1
Решение неравенства на графике