|x-2|<|x+4| (неравенство)

Укажите решение неравенства: |x-2|<|x+4| (множество решений неравенства)

Вы ввели

|x - 2| < |x + 4|

$$\left|{x - 2}\right| < \left|{x + 4}\right|$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left|{x - 2}\right| < \left|{x + 4}\right|$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{x - 2}\right| = \left|{x + 4}\right|$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.

1.
$$x - 2 \geq 0$$
$$x + 4 \geq 0$$
или
$$2 \leq x \wedge x < \infty$$
получаем ур-ние
$$x - 2 - x + 4 = 0$$
упрощаем, получаем
неверно
решение на этом интервале:
Не найдены корни при этом условии

2.
$$x - 2 \geq 0$$
$$x + 4 < 0$$
Неравенства не выполняются, пропускаем

3.
$$x - 2 < 0$$
$$x + 4 \geq 0$$
или
$$-4 \leq x \wedge x < 2$$
получаем ур-ние
$$- x + 2 - x + 4 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- 2 x - 2 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = -1$$

4.
$$x - 2 < 0$$
$$x + 4 < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < -4$$
получаем ур-ние
$$- - x - 4 + - x + 2 = 0$$
упрощаем, получаем
неверно
решение на этом интервале:
Не найдены корни при этом условии


$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Данные корни
$$x_{1} = -1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left|{x - 2}\right| < \left|{x + 4}\right|$$
$$\left|{-2 + - \frac{11}{10}}\right| < \left|{- \frac{11}{10} + 4}\right|$$

31   29
-- < --
10   10

но

31   29
-- > --
10   10

Тогда
$$x < -1$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > -1$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

And(-1 < x, x < oo)

$$-1 < x \wedge x < \infty$$

Быстрый ответ 2

(-1, oo)

$$x \in \left(-1, \infty\right)$$