|x-2|-3>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: |x-2|-3>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

|x - 2| - 3 > 0

$$\left|{x - 2}\right| - 3 > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left|{x - 2}\right| - 3 > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{x - 2}\right| - 3 = 0$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.

1.
$$x - 2 \geq 0$$
или
$$2 \leq x \wedge x < \infty$$
получаем ур-ние
$$x - 2 - 3 = 0$$
упрощаем, получаем
$$x - 5 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = 5$$

2.
$$x - 2 < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < 2$$
получаем ур-ние
$$- x + 2 - 3 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- x - 1 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{2} = -1$$


$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = -1$$
Данные корни
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 5$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left|{x - 2}\right| - 3 > 0$$
$$-3 + \left|{-2 + - \frac{11}{10}}\right| > 0$$

1/10 > 0

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < -1$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < -1$$
$$x > 5$$

Быстрый ответ

Or(And(-oo < x, x < -1), And(5 < x, x < oo))

$$\left(-\infty < x \wedge x < -1\right) \vee \left(5 < x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

(-oo, -1) U (5, oo)

$$x \in \left(-\infty, -1\right) \cup \left(5, \infty\right)$$