|x-2|-3<|x| (неравенство)

Укажите решение неравенства: |x-2|-3<|x| (множество решений неравенства)

Вы ввели

|x - 2| - 3 < |x|

$$\left|{x - 2}\right| - 3 < \left|{x}\right|$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left|{x - 2}\right| - 3 < \left|{x}\right|$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{x - 2}\right| - 3 = \left|{x}\right|$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.

1.
$$x \geq 0$$
$$x - 2 \geq 0$$
или
$$2 \leq x \wedge x < \infty$$
получаем ур-ние
$$- x + \left(x - 2\right) - 3 = 0$$
упрощаем, получаем
неверно
решение на этом интервале:

2.
$$x \geq 0$$
$$x - 2 < 0$$
или
$$0 \leq x \wedge x < 2$$
получаем ур-ние
$$- x - \left(x - 2\right) - 3 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- 2 x - 1 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
но x1 не удовлетворяет неравенству

3.
$$x < 0$$
$$x - 2 \geq 0$$
Неравенства не выполняются, пропускаем

4.
$$x < 0$$
$$x - 2 < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < 0$$
получаем ур-ние
$$- \left(-1\right) x - \left(x - 2\right) - 3 = 0$$
упрощаем, получаем
неверно
решение на этом интервале:


Данное ур-ние не имеет решений,
значит данное неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда
проверим
подставляем произвольную точку, например

x0 = 0

$$\left(-1\right) 3 + \left|{\left(-1\right) 2 + 0}\right| < \left|{0}\right|$$

-1 < 0

зн. неравенство выполняется всегда

Быстрый ответ

And(-oo < x, x < oo)

$$-\infty < x \wedge x < \infty$$

Быстрый ответ 2

(-oo, oo)

$$x\ in\ \left(-\infty, \infty\right)$$

График