|x-2|-|x|>0 (неравенство)
Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Укажите решение неравенства: |x-2|-|x|>0 (множество решений неравенства)
Решение
Подробное решение
$$- \left|{x}\right| + \left|{x - 2}\right| > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- \left|{x}\right| + \left|{x - 2}\right| = 0$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.
1.
$$x \geq 0$$
$$x - 2 \geq 0$$
или
$$2 \leq x \wedge x < \infty$$
получаем ур-ние
$$- x + x - 2 = 0$$
упрощаем, получаем
неверно
решение на этом интервале:
Не найдены корни при этом условии
2.
$$x \geq 0$$
$$x - 2 < 0$$
или
$$0 \leq x \wedge x < 2$$
получаем ур-ние
$$- x + - x + 2 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- 2 x + 2 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = 1$$
3.
$$x < 0$$
$$x - 2 \geq 0$$
Неравенства не выполняются, пропускаем
4.
$$x < 0$$
$$x - 2 < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < 0$$
получаем ур-ние
$$- -1 x + - x + 2 = 0$$
упрощаем, получаем
неверно
решение на этом интервале:
Не найдены корни при этом условии
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Данные корни
$$x_{1} = 1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{9}{10}$$
=
$$\frac{9}{10}$$
подставляем в выражение
$$- \left|{x}\right| + \left|{x - 2}\right| > 0$$
|9/10 - 2| - |9/10| > 0
1/5 > 0
значит решение неравенства будет при:
$$x < 1$$
_____
\
-------ο-------
x1
Решение неравенства на графике