|x-1|<|x| (неравенство)

Укажите решение неравенства: |x-1|<|x| (множество решений неравенства)

Вы ввели

|x - 1| < |x|

$$\left|{x - 1}\right| < \left|{x}\right|$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left|{x - 1}\right| < \left|{x}\right|$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{x - 1}\right| = \left|{x}\right|$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.

1.
$$x \geq 0$$
$$x - 1 \geq 0$$
или
$$1 \leq x \wedge x < \infty$$
получаем ур-ние
$$- x + x - 1 = 0$$
упрощаем, получаем
неверно
решение на этом интервале:
Не найдены корни при этом условии

2.
$$x \geq 0$$
$$x - 1 < 0$$
или
$$0 \leq x \wedge x < 1$$
получаем ур-ние
$$- x + - x + 1 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- 2 x + 1 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$

3.
$$x < 0$$
$$x - 1 \geq 0$$
Неравенства не выполняются, пропускаем

4.
$$x < 0$$
$$x - 1 < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < 0$$
получаем ур-ние
$$- -1 x + - x + 1 = 0$$
упрощаем, получаем
неверно
решение на этом интервале:
Не найдены корни при этом условии


$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{2}{5}$$
=
$$\frac{2}{5}$$
подставляем в выражение
$$\left|{x - 1}\right| < \left|{x}\right|$$
$$\left|{-1 + \frac{2}{5}}\right| < \left|{\frac{2}{5}}\right|$$

3/5 < 2/5

но

3/5 > 2/5

Тогда
$$x < \frac{1}{2}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > \frac{1}{2}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

And(1/2 < x, x < oo)

$$\frac{1}{2} < x \wedge x < \infty$$

Быстрый ответ 2

(1/2, oo)

$$x \in \left(\frac{1}{2}, \infty\right)$$