|x+4|>6-|x| (неравенство)

Укажите решение неравенства: |x+4|>6-|x| (множество решений неравенства)

Вы ввели

|x + 4| > 6 - |x|

$$\left|{x + 4}\right| > 6 - \left|{x}\right|$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left|{x + 4}\right| > 6 - \left|{x}\right|$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{x + 4}\right| = 6 - \left|{x}\right|$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.

1.
$$x \geq 0$$
$$x + 4 \geq 0$$
или
$$0 \leq x \wedge x < \infty$$
получаем ур-ние
$$x + \left(x + 4\right) - 6 = 0$$
упрощаем, получаем
$$2 x - 2 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = 1$$

2.
$$x \geq 0$$
$$x + 4 < 0$$
Неравенства не выполняются, пропускаем

3.
$$x < 0$$
$$x + 4 \geq 0$$
или
$$-4 \leq x \wedge x < 0$$
получаем ур-ние
$$- x + \left(x + 4\right) - 6 = 0$$
упрощаем, получаем
неверно
решение на этом интервале:

4.
$$x < 0$$
$$x + 4 < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < -4$$
получаем ур-ние
$$- x - \left(x + 4\right) - 6 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- 2 x - 10 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{2} = -5$$


$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -5$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -5$$
Данные корни
$$x_{2} = -5$$
$$x_{1} = 1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-5 - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{51}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left|{x + 4}\right| > 6 - \left|{x}\right|$$
$$\left|{- \frac{51}{10} + 4}\right| > 6 - \left|{- \frac{51}{10}}\right|$$

11       
-- > 9/10
10       

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < -5$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x_2      x_1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < -5$$
$$x > 1$$

Быстрый ответ

Or(And(-oo < x, x < -5), And(1 < x, x < oo))

$$\left(-\infty < x \wedge x < -5\right) \vee \left(1 < x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

(-oo, -5) U (1, oo)

$$x\ in\ \left(-\infty, -5\right) \cup \left(1, \infty\right)$$

График