|x+9|<|x+4| (неравенство)
Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Укажите решение неравенства: |x+9|<|x+4| (множество решений неравенства)
Решение
Подробное решение
$$\left|{x + 9}\right| < \left|{x + 4}\right|$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{x + 9}\right| = \left|{x + 4}\right|$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.
1.
$$x + 9 \geq 0$$
$$x + 4 \geq 0$$
или
$$-4 \leq x \wedge x < \infty$$
получаем ур-ние
$$- x + 4 + x + 9 = 0$$
упрощаем, получаем
неверно
решение на этом интервале:
Не найдены корни при этом условии
2.
$$x + 9 \geq 0$$
$$x + 4 < 0$$
или
$$-9 \leq x \wedge x < -4$$
получаем ур-ние
$$- - x - 4 + x + 9 = 0$$
упрощаем, получаем
$$2 x + 13 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = - \frac{13}{2}$$
3.
$$x + 9 < 0$$
$$x + 4 \geq 0$$
Неравенства не выполняются, пропускаем
4.
$$x + 9 < 0$$
$$x + 4 < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < -9$$
получаем ур-ние
$$- x - 9 - - x - 4 = 0$$
упрощаем, получаем
неверно
решение на этом интервале:
Не найдены корни при этом условии
$$x_{1} = - \frac{13}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{13}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{13}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{33}{5}$$
=
$$- \frac{33}{5}$$
подставляем в выражение
$$\left|{x + 9}\right| < \left|{x + 4}\right|$$
$$\left|{- \frac{33}{5} + 9}\right| < \left|{- \frac{33}{5} + 4}\right|$$
12/5 < 13/5
значит решение неравенства будет при:
$$x < - \frac{13}{2}$$
_____
\
-------ο-------
x1
Решение неравенства на графике