|x+2|-|x|>1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: |x+2|-|x|>1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

|x + 2| - |x| > 1

$$- \left|{x}\right| + \left|{x + 2}\right| > 1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$- \left|{x}\right| + \left|{x + 2}\right| > 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- \left|{x}\right| + \left|{x + 2}\right| = 1$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.

1.
$$x \geq 0$$
$$x + 2 \geq 0$$
или
$$0 \leq x \wedge x < \infty$$
получаем ур-ние
$$- x + \left(x + 2\right) - 1 = 0$$
упрощаем, получаем
неверно
решение на этом интервале:

2.
$$x \geq 0$$
$$x + 2 < 0$$
Неравенства не выполняются, пропускаем

3.
$$x < 0$$
$$x + 2 \geq 0$$
или
$$-2 \leq x \wedge x < 0$$
получаем ур-ние
$$- \left(-1\right) x + \left(x + 2\right) - 1 = 0$$
упрощаем, получаем
$$2 x + 1 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$

4.
$$x < 0$$
$$x + 2 < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < -2$$
получаем ур-ние
$$- \left(-1\right) x - \left(x + 2\right) - 1 = 0$$
упрощаем, получаем
неверно
решение на этом интервале:


$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{3}{5}$$
подставляем в выражение
$$- \left|{x}\right| + \left|{x + 2}\right| > 1$$
$$- \left|{- \frac{3}{5}}\right| + \left|{- \frac{3}{5} + 2}\right| > 1$$

4/5 > 1

Тогда
$$x < - \frac{1}{2}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > - \frac{1}{2}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

And(-1/2 < x, x < oo)

$$- \frac{1}{2} < x \wedge x < \infty$$

Быстрый ответ 2

(-1/2, oo)

$$x\ in\ \left(- \frac{1}{2}, \infty\right)$$

График