|x+7|<|x-9| (неравенство)
Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Укажите решение неравенства: |x+7|<|x-9| (множество решений неравенства)
Решение
Подробное решение
$$\left|{x + 7}\right| < \left|{x - 9}\right|$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{x + 7}\right| = \left|{x - 9}\right|$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.
1.
$$x + 7 \geq 0$$
$$x - 9 \geq 0$$
или
$$9 \leq x \wedge x < \infty$$
получаем ур-ние
$$- x - 9 + x + 7 = 0$$
упрощаем, получаем
неверно
решение на этом интервале:
Не найдены корни при этом условии
2.
$$x + 7 \geq 0$$
$$x - 9 < 0$$
или
$$-7 \leq x \wedge x < 9$$
получаем ур-ние
$$- - x + 9 + x + 7 = 0$$
упрощаем, получаем
$$2 x - 2 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = 1$$
3.
$$x + 7 < 0$$
$$x - 9 \geq 0$$
Неравенства не выполняются, пропускаем
4.
$$x + 7 < 0$$
$$x - 9 < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < -7$$
получаем ур-ние
$$- x - 7 - - x + 9 = 0$$
упрощаем, получаем
неверно
решение на этом интервале:
Не найдены корни при этом условии
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Данные корни
$$x_{1} = 1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{9}{10}$$
=
$$\frac{9}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left|{x + 7}\right| < \left|{x - 9}\right|$$
$$\left|{\frac{9}{10} + 7}\right| < \left|{-9 + \frac{9}{10}}\right|$$
79 81 -- < -- 10 10
значит решение неравенства будет при:
$$x < 1$$
_____
\
-------ο-------
x1
Решение неравенства на графике