|x+3|<|5-x| (неравенство)
Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Укажите решение неравенства: |x+3|<|5-x| (множество решений неравенства)
Решение
Подробное решение
$$\left|{x + 3}\right| < \left|{- x + 5}\right|$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{x + 3}\right| = \left|{- x + 5}\right|$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.
1.
$$x + 3 \geq 0$$
$$x - 5 \geq 0$$
или
$$5 \leq x \wedge x < \infty$$
получаем ур-ние
$$- x - 5 + x + 3 = 0$$
упрощаем, получаем
неверно
решение на этом интервале:
Не найдены корни при этом условии
2.
$$x + 3 \geq 0$$
$$x - 5 < 0$$
или
$$-3 \leq x \wedge x < 5$$
получаем ур-ние
$$- - x + 5 + x + 3 = 0$$
упрощаем, получаем
$$2 x - 2 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = 1$$
3.
$$x + 3 < 0$$
$$x - 5 \geq 0$$
Неравенства не выполняются, пропускаем
4.
$$x + 3 < 0$$
$$x - 5 < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < -3$$
получаем ур-ние
$$- x - 3 - - x + 5 = 0$$
упрощаем, получаем
неверно
решение на этом интервале:
Не найдены корни при этом условии
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Данные корни
$$x_{1} = 1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{9}{10}$$
=
$$\frac{9}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left|{x + 3}\right| < \left|{- x + 5}\right|$$
|9/10 + 3| < |5 - 9/10|
39 41 -- < -- 10 10
значит решение неравенства будет при:
$$x < 1$$
_____
\
-------ο-------
x1
Решение неравенства на графике