|x|+|x+3|<5 (неравенство)
Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Укажите решение неравенства: |x|+|x+3|<5 (множество решений неравенства)
Решение
Подробное решение
$$\left|{x}\right| + \left|{x + 3}\right| < 5$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{x}\right| + \left|{x + 3}\right| = 5$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.
1.
$$x \geq 0$$
$$x + 3 \geq 0$$
или
$$0 \leq x \wedge x < \infty$$
получаем ур-ние
$$x + x + 3 - 5 = 0$$
упрощаем, получаем
$$2 x - 2 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = 1$$
2.
$$x \geq 0$$
$$x + 3 < 0$$
Неравенства не выполняются, пропускаем
3.
$$x < 0$$
$$x + 3 \geq 0$$
или
$$-3 \leq x \wedge x < 0$$
получаем ур-ние
$$- x + x + 3 - 5 = 0$$
упрощаем, получаем
неверно
решение на этом интервале:
Не найдены корни при этом условии
4.
$$x < 0$$
$$x + 3 < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < -3$$
получаем ур-ние
$$- x + - x - 3 - 5 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- 2 x - 8 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{2} = -4$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -4$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -4$$
Данные корни
$$x_{2} = -4$$
$$x_{1} = 1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{41}{10}$$
=
$$- \frac{41}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left|{x}\right| + \left|{x + 3}\right| < 5$$
$$\left|{- \frac{41}{10} + 3}\right| + \left|{- \frac{41}{10}}\right| < 5$$
26/5 < 5
но
26/5 > 5
Тогда
$$x < -4$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -4 \wedge x < 1$$
_____
/ \
-------ο-------ο-------
x2 x1
Решение неравенства на графике