Решите неравенство |x^2-5|>2 (модуль от х в квадрате минус 5| больше 2) - Укажите множество решений неравенства подробно по-шагам. [Есть ответ!]
Решение неравенств/ |x^2-5|>2

|x^2-5|>2 (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: |x^2-5|>2 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
    | 2    |    
|x  - 5| > 2
    $$\left|{x^{2} - 5}\right| > 2$$
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    $$\left|{x^{2} - 5}\right| > 2$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\left|{x^{2} - 5}\right| = 2$$
    Решаем:
    Для каждого выражения под модулем в ур-нии
    допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
    решаем получившиеся ур-ния.

    1.
    $$x^{2} - 5 \geq 0$$
    или
    $$\left(x \leq - \sqrt{5} \wedge -\infty < x\right) \vee \left(\sqrt{5} \leq x \wedge x < \infty\right)$$
    получаем ур-ние
    $$x^{2} - 5 - 2 = 0$$
    упрощаем, получаем
    $$x^{2} - 7 = 0$$
    решение на этом интервале:
    $$x_{1} = - \sqrt{7}$$
    $$x_{2} = \sqrt{7}$$

    2.
    $$x^{2} - 5 < 0$$
    или
    $$- \sqrt{5} < x \wedge x < \sqrt{5}$$
    получаем ур-ние
    $$- x^{2} + 5 - 2 = 0$$
    упрощаем, получаем
    $$- x^{2} + 3 = 0$$
    решение на этом интервале:
    $$x_{3} = - \sqrt{3}$$
    $$x_{4} = \sqrt{3}$$


    $$x_{1} = - \sqrt{7}$$
    $$x_{2} = \sqrt{7}$$
    $$x_{3} = - \sqrt{3}$$
    $$x_{4} = \sqrt{3}$$
    $$x_{1} = - \sqrt{7}$$
    $$x_{2} = \sqrt{7}$$
    $$x_{3} = - \sqrt{3}$$
    $$x_{4} = \sqrt{3}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = - \sqrt{7}$$
    $$x_{3} = - \sqrt{3}$$
    $$x_{4} = \sqrt{3}$$
    $$x_{2} = \sqrt{7}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
        ___   1 
- \/ 7  - --
          10

    =
    $$- \sqrt{7} - \frac{1}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\left|{x^{2} - 5}\right| > 2$$
    |              2    |    
|/    ___   1 \     |    
||- \/ 7  - --|  - 5| > 2
|\          10/     |    

                     2    
     /1      ___\     
-5 + |-- + \/ 7 |  > 2
     \10        /

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x < - \sqrt{7}$$
     _____           _____           _____          
      \         /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x1      x3      x4      x2

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x < - \sqrt{7}$$
    $$x > - \sqrt{3} \wedge x < \sqrt{3}$$
    $$x > \sqrt{7}$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ [src]
      /   /                ___\     /  ___            \     /   ___            ___\\
Or\And\-oo < x, x < -\/ 7 /, And\\/ 7  < x, x < oo/, And\-\/ 3  < x, x < \/ 3 //
    $$\left(-\infty < x \wedge x < - \sqrt{7}\right) \vee \left(\sqrt{7} < x \wedge x < \infty\right) \vee \left(- \sqrt{3} < x \wedge x < \sqrt{3}\right)$$
    Быстрый ответ 2 [src]
             ___        ___    ___       ___     
(-oo, -\/ 7 ) U (-\/ 3 , \/ 3 ) U (\/ 7 , oo)
    $$x \in \left(-\infty, - \sqrt{7}\right) \cup \left(- \sqrt{3}, \sqrt{3}\right) \cup \left(\sqrt{7}, \infty\right)$$