(1/4)^x<2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (1/4)^x<2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 -x    
4   < 2

$$\left(\frac{1}{4}\right)^{x} < 2$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(\frac{1}{4}\right)^{x} < 2$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(\frac{1}{4}\right)^{x} = 2$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\left(\frac{1}{4}\right)^{x} = 2$$
или
$$-2 + \left(\frac{1}{4}\right)^{x} = 0$$
или
$$\left(\frac{1}{4}\right)^{x} = 2$$
или
$$\left(\frac{1}{4}\right)^{x} = 2$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = \left(\frac{1}{4}\right)^{x}$$
получим
$$v - 2 = 0$$
или
$$v - 2 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = 2$$
делаем обратную замену
$$\left(\frac{1}{4}\right)^{x} = v$$
или
$$x = - \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(4 \right)}}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Данные корни
$$x_{1} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 2$$
=
$$\frac{19}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(\frac{1}{4}\right)^{x} < 2$$
$$\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{19}{10}} < 2$$

5 ___    
\/ 2     
----- < 2
  16     
    

значит решение неравенства будет при:
$$x < 2$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x_1

Быстрый ответ

-log(2)     
-------- < x
 log(4)     

$$- \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(4 \right)}} < x$$

Быстрый ответ 2

 -log(2)      
(--------, oo)
  log(4)      

$$x\ in\ \left(- \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(4 \right)}}, \infty\right)$$

График