(1/4)^x<16 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (1/4)^x<16 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 -x     
4   < 16

$$\left(\frac{1}{4}\right)^{x} < 16$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(\frac{1}{4}\right)^{x} < 16$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(\frac{1}{4}\right)^{x} = 16$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\left(\frac{1}{4}\right)^{x} = 16$$
или
$$-16 + \left(\frac{1}{4}\right)^{x} = 0$$
или
$$\left(\frac{1}{4}\right)^{x} = 16$$
или
$$\left(\frac{1}{4}\right)^{x} = 16$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = \left(\frac{1}{4}\right)^{x}$$
получим
$$v - 16 = 0$$
или
$$v - 16 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = 16$$
делаем обратную замену
$$\left(\frac{1}{4}\right)^{x} = v$$
или
$$x = - \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(4 \right)}}$$
$$x_{1} = 16$$
$$x_{1} = 16$$
Данные корни
$$x_{1} = 16$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 16$$
=
$$\frac{159}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(\frac{1}{4}\right)^{x} < 16$$
$$\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{159}{10}} < 16$$

  5 ___        
  \/ 2         
---------- < 16
4294967296     
     

значит решение неравенства будет при:
$$x < 16$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x_1

Быстрый ответ

-log(16)     
--------- < x
  log(4)     

$$- \frac{\log{\left(16 \right)}}{\log{\left(4 \right)}} < x$$

Быстрый ответ 2

 -log(16)      
(---------, oo)
   log(4)      

$$x\ in\ \left(- \frac{\log{\left(16 \right)}}{\log{\left(4 \right)}}, \infty\right)$$

График