(1/2)^x<32 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (1/2)^x<32 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 -x     
2   < 32

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} < 32$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} < 32$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = 32$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = 32$$
или
$$-32 + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} = 0$$
или
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = 32$$
или
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = 32$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = \left(\frac{1}{2}\right)^{x}$$
получим
$$v - 32 = 0$$
или
$$v - 32 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = 32$$
делаем обратную замену
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = v$$
или
$$x = - \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = 32$$
$$x_{1} = 32$$
Данные корни
$$x_{1} = 32$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 32$$
=
$$\frac{319}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} < 32$$
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{319}{10}} < 32$$

  10___        
  \/ 2         
---------- < 32
4294967296     
     

значит решение неравенства будет при:
$$x < 32$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

-log(32)     
--------- < x
  log(2)     

$$- \frac{\log{\left(32 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} < x$$

Быстрый ответ 2

 -log(32)      
(---------, oo)
   log(2)      

$$x\ in\ \left(- \frac{\log{\left(32 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}, \infty\right)$$

График