(1/(x^2-7*x+12)+(x-4)/(3-x))*sqrt(6*x-x^2)<=0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (1/(x^2-7*x+12)+(x-4)/(3-x))*sqrt(6*x-x^2)<=0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

                           __________     
/      1         x - 4\   /        2      
|------------- + -----|*\/  6*x - x   <= 0
| 2              3 - x|                   
\x  - 7*x + 12        /                   

$$\sqrt{- x^{2} + 6 x} \left(\frac{1}{x^{2} - 7 x + 12} + \frac{x - 4}{- x + 3}\right) \leq 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sqrt{- x^{2} + 6 x} \left(\frac{1}{x^{2} - 7 x + 12} + \frac{x - 4}{- x + 3}\right) \leq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sqrt{- x^{2} + 6 x} \left(\frac{1}{x^{2} - 7 x + 12} + \frac{x - 4}{- x + 3}\right) = 0$$
Решаем:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 5$$
$$x_{3} = 6$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 5$$
$$x_{3} = 6$$
Данные корни
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 5$$
$$x_{3} = 6$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sqrt{- x^{2} + 6 x} \left(\frac{1}{x^{2} - 7 x + 12} + \frac{x - 4}{- x + 3}\right) \leq 0$$

                                          _________________     
/         1              -1/10 - 4  \    / 6*(-1)        2      
|-------------------- + ------------|*  /  ------ - -1/10   <= 0
|     2   7*(-1)                   1| \/     10                 
|-1/10  - ------ + 12   (3 - -1/10) |                           
\           10                      /                           

        ____     
-51*I*\/ 61      
------------ <= 0
    410          
     

Тогда
$$x \leq 0$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq 0 \wedge x \leq 5$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------•-------•-------•-------
       x1      x2      x3

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \geq 0 \wedge x \leq 5$$
$$x \geq 6$$

Быстрый ответ

Or(And(0 <= x, x < 3), And(5 <= x, x <= 6), And(3 < x, x < 4))

$$\left(0 \leq x \wedge x < 3\right) \vee \left(5 \leq x \wedge x \leq 6\right) \vee \left(3 < x \wedge x < 4\right)$$

Быстрый ответ 2

[0, 3) U (3, 4) U [5, 6]

$$x \in \left[0, 3\right) \cup \left(3, 4\right) \cup \left[5, 6\right]$$