1-cos(x)<=1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 1-cos(x)<=1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

1 - cos(x) <= 1

$$1 - \cos{\left(x \right)} \leq 1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$1 - \cos{\left(x \right)} \leq 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$1 - \cos{\left(x \right)} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$1 - \cos{\left(x \right)} = 1$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние

Разделим обе части ур-ния на -1

Ур-ние превратится в
$$\cos{\left(x \right)} = 0$$
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(0 \right)}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(0 \right)}$$
Или
$$x = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x = \pi n - \frac{\pi}{2}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \frac{\pi}{2}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2}$$
подставляем в выражение
$$1 - \cos{\left(x \right)} \leq 1$$
$$1 - \cos{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2} \right)} \leq 1$$

        n               
1 - (-1) *sin(1/10) <= 1
     

но

        n               
1 - (-1) *sin(1/10) >= 1
     

Тогда
$$x \leq \pi n + \frac{\pi}{2}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq \pi n + \frac{\pi}{2} \wedge x \leq \pi n - \frac{\pi}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2

Быстрый ответ

  /   /             pi\     /3*pi               \\
Or|And|0 <= x, x <= --|, And|---- <= x, x < 2*pi||
  \   \             2 /     \ 2                 //

$$\left(0 \leq x \wedge x \leq \frac{\pi}{2}\right) \vee \left(\frac{3 \pi}{2} \leq x \wedge x < 2 \pi\right)$$

Быстрый ответ 2

    pi     3*pi       
[0, --] U [----, 2*pi)
    2       2         

$$x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, 2 \pi\right)$$

График