1+2*cos(x)>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 1+2*cos(x)>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

1 + 2*cos(x) > 0

$$2 \cos{\left(x \right)} + 1 > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$2 \cos{\left(x \right)} + 1 > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2 \cos{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$2 \cos{\left(x \right)} + 1 = 0$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние

Перенесём 1 в правую часть ур-ния

с изменением знака при 1

Получим:
$$2 \cos{\left(x \right)} = -1$$

Разделим обе части ур-ния на 2

Ур-ние превратится в
$$\cos{\left(x \right)} = - \frac{1}{2}$$
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
Или
$$x = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \frac{2 \pi}{3}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{2 \pi}{3}$$
подставляем в выражение
$$2 \cos{\left(x \right)} + 1 > 0$$
$$2 \cos{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \frac{2 \pi}{3} \right)} + 1 > 0$$

          n    /1    pi\    
1 - 2*(-1) *cos|-- + --| > 0
               \10   3 /    

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x > \pi n - \frac{\pi}{3}$$

Быстрый ответ

  /   /            2*pi\     /4*pi              \\
Or|And|0 <= x, x < ----|, And|---- < x, x < 2*pi||
  \   \             3  /     \ 3                //

$$\left(0 \leq x \wedge x < \frac{2 \pi}{3}\right) \vee \left(\frac{4 \pi}{3} < x \wedge x < 2 \pi\right)$$

Быстрый ответ 2

    2*pi     4*pi       
[0, ----) U (----, 2*pi)
     3        3         

$$x\ in\ \left[0, \frac{2 \pi}{3}\right) \cup \left(\frac{4 \pi}{3}, 2 \pi\right)$$

График