1+|x|<|x+2| (неравенство)
Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Укажите решение неравенства: 1+|x|<|x+2| (множество решений неравенства)
Решение
Подробное решение
$$\left|{x}\right| + 1 < \left|{x + 2}\right|$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{x}\right| + 1 = \left|{x + 2}\right|$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.
1.
$$x \geq 0$$
$$x + 2 \geq 0$$
или
$$0 \leq x \wedge x < \infty$$
получаем ур-ние
$$x - x + 2 + 1 = 0$$
упрощаем, получаем
неверно
решение на этом интервале:
Не найдены корни при этом условии
2.
$$x \geq 0$$
$$x + 2 < 0$$
Неравенства не выполняются, пропускаем
3.
$$x < 0$$
$$x + 2 \geq 0$$
или
$$-2 \leq x \wedge x < 0$$
получаем ур-ние
$$- x - x + 2 + 1 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- 2 x - 1 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
4.
$$x < 0$$
$$x + 2 < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < -2$$
получаем ур-ние
$$- x - - x - 2 + 1 = 0$$
упрощаем, получаем
неверно
решение на этом интервале:
Не найдены корни при этом условии
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{3}{5}$$
=
$$- \frac{3}{5}$$
подставляем в выражение
$$\left|{x}\right| + 1 < \left|{x + 2}\right|$$
$$\left|{- \frac{3}{5}}\right| + 1 < \left|{- \frac{3}{5} + 2}\right|$$
8/5 < 7/5
но
8/5 > 7/5
Тогда
$$x < - \frac{1}{2}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > - \frac{1}{2}$$
_____
/
-------ο-------
x1
Решение неравенства на графике