1+3*sin(x)>0 (неравенство)
Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Укажите решение неравенства: 1+3*sin(x)>0 (множество решений неравенства)
Решение
Подробное решение
Дано неравенство:
$$3 \sin{\left (x \right )} + 1 > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$3 \sin{\left (x \right )} + 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$3 \sin{\left (x \right )} + 1 = 0$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Перенесём 1 в правую часть ур-ния
с изменением знака при 1
Получим:
$$3 \sin{\left (x \right )} = -1$$
Разделим обе части ур-ния на 3
Ур-ние превратится в
$$\sin{\left (x \right )} = - \frac{1}{3}$$
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{3} \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{3} \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
-asin(1/3) + 2*pi*n - 1/10
=
$$2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$3 \sin{\left (x \right )} + 1 > 0$$
1 + 3*sin(-asin(1/3) + 2*pi*n - 1/10) > 0
1 - 3*sin(1/10 - 2*pi*n + asin(1/3)) > 0
Тогда
$$x < 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} \wedge x < 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi$$
_____
/ \
-------ο-------ο-------
x1 x2
Решение неравенства на графике
Or(And(x < oo, pi + asin(1/3) < x), And(x < pi + asin(1/3), -asin(1/3) < x))
$$\left(x < \infty \wedge \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi < x\right) \vee \left(x < \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi \wedge - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} < x\right)$$
(-asin(1/3), pi + asin(1/3)) U (pi + asin(1/3), oo)
$$x \in \left(- \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}, \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi\right) \cup \left(\operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi, \infty\right)$$