5*2^(2*x+2)-21*2^(x-1)+1<=0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 5*2^(2*x+2)-21*2^(x-1)+1<=0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

   2*x + 2       x - 1         
5*2        - 21*2      + 1 <= 0

$$- 21 \cdot 2^{x - 1} + 5 \cdot 2^{2 x + 2} + 1 \leq 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$- 21 \cdot 2^{x - 1} + 5 \cdot 2^{2 x + 2} + 1 \leq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- 21 \cdot 2^{x - 1} + 5 \cdot 2^{2 x + 2} + 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$- 21 \cdot 2^{x - 1} + 5 \cdot 2^{2 x + 2} + 1 = 0$$
или
$$- 21 \cdot 2^{x - 1} + 5 \cdot 2^{2 x + 2} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 2^{x}$$
получим
$$5 \cdot 2^{2} v^{2} - \frac{21 v}{2} + 1 = 0$$
или
$$20 v^{2} - \frac{21 v}{2} + 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 20$$
$$b = - \frac{21}{2}$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-21/2)^2 - 4 * (20) * (1) = 121/4

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = \frac{2}{5}$$
$$v_{2} = \frac{1}{8}$$
делаем обратную замену
$$2^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
$$x_{1} = \frac{2}{5}$$
$$x_{2} = \frac{1}{8}$$
$$x_{1} = \frac{2}{5}$$
$$x_{2} = \frac{1}{8}$$
Данные корни
$$x_{2} = \frac{1}{8}$$
$$x_{1} = \frac{2}{5}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{1}{40}$$
=
$$\frac{1}{40}$$
подставляем в выражение
$$- 21 \cdot 2^{x - 1} + 5 \cdot 2^{2 x + 2} + 1 \leq 0$$

   2                             
   -- + 2                        
   40           1/40 - 1         
5*2       - 21*2         + 1 <= 0

                  40___     
       20___   21*\/ 2      
1 + 20*\/ 2  - -------- <= 0
                  2         
     

но

                  40___     
       20___   21*\/ 2      
1 + 20*\/ 2  - -------- >= 0
                  2         
     

Тогда
$$x \leq \frac{1}{8}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq \frac{1}{8} \wedge x \leq \frac{2}{5}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1

Быстрый ответ

   /                  log(5)\
And|-3 <= x, x <= 1 - ------|
   \                  log(2)/

$$-3 \leq x \wedge x \leq - \frac{\log{\left (5 \right )}}{\log{\left (2 \right )}} + 1$$

Быстрый ответ 2

         log(5) 
[-3, 1 - ------]
         log(2) 

$$x \in \left[-3, - \frac{\log{\left (5 \right )}}{\log{\left (2 \right )}} + 1\right]$$