5^x-6<25 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 5^x-6<25 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 x         
5  - 6 < 25

$$5^{x} - 6 < 25$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$5^{x} - 6 < 25$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$5^{x} - 6 = 25$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$5^{x} - 6 = 25$$
или
$$\left(5^{x} - 6\right) - 25 = 0$$
или
$$5^{x} = 31$$
или
$$5^{x} = 31$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 5^{x}$$
получим
$$v - 31 = 0$$
или
$$v - 31 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = 31$$
делаем обратную замену
$$5^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(5 \right)}}$$
$$x_{1} = 31$$
$$x_{1} = 31$$
Данные корни
$$x_{1} = 31$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 31$$
=
$$\frac{309}{10}$$
подставляем в выражение
$$5^{x} - 6 < 25$$
$$\left(-1\right) 6 + 5^{\frac{309}{10}} < 25$$

                            9/10     
-6 + 931322574615478515625*5     < 25
     

но

                            9/10     
-6 + 931322574615478515625*5     > 25
     

Тогда
$$x < 31$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > 31$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

    log(31)
x < -------
     log(5)

$$x < \frac{\log{\left(31 \right)}}{\log{\left(5 \right)}}$$

Быстрый ответ 2

      log(31) 
(-oo, -------)
       log(5) 

$$x\ in\ \left(-\infty, \frac{\log{\left(31 \right)}}{\log{\left(5 \right)}}\right)$$

График