6^(2*x)-4*6^x-12>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 6^(2*x)-4*6^x-12>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 2*x      x         
6    - 4*6  - 12 > 0

$$6^{2 x} - 4 \cdot 6^{x} - 12 > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$6^{2 x} - 4 \cdot 6^{x} - 12 > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$6^{2 x} - 4 \cdot 6^{x} - 12 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$6^{2 x} - 4 \cdot 6^{x} - 12 = 0$$
или
$$6^{2 x} - 4 \cdot 6^{x} - 12 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 6^{x}$$
получим
$$v^{2} - 4 v - 12 = 0$$
или
$$v^{2} - 4 v - 12 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -4$$
$$c = -12$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-4)^2 - 4 * (1) * (-12) = 64

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 6$$
$$v_{2} = -2$$
делаем обратную замену
$$6^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (6 \right )}}$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 6$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 6$$
Данные корни
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 6$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
подставляем в выражение
$$6^{2 x} - 4 \cdot 6^{x} - 12 > 0$$

 2*(-21)               
 -------               
    10      4          
6        - --- - 12 > 0
            21         
            --         
            10         
           6           

       9/10    4/5    
      6       6       
-12 - ----- + ---- > 0
        54    7776    
    

Тогда
$$x < -2$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -2 \wedge x < 6$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Быстрый ответ

And(1 < x, x < oo)

$$1 < x \wedge x < \infty$$

Быстрый ответ 2

(1, oo)

$$x \in \left(1, \infty\right)$$