6^(-x)>=15 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 6^(-x)>=15 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 -x      
6   >= 15

$$6^{- x} \geq 15$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$6^{- x} \geq 15$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$6^{- x} = 15$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$6^{- x} = 15$$
или
$$-15 + 6^{- x} = 0$$
или
$$\left(\frac{1}{6}\right)^{x} = 15$$
или
$$\left(\frac{1}{6}\right)^{x} = 15$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = \left(\frac{1}{6}\right)^{x}$$
получим
$$v - 15 = 0$$
или
$$v - 15 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = 15$$
делаем обратную замену
$$\left(\frac{1}{6}\right)^{x} = v$$
или
$$x = - \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(6 \right)}}$$
$$x_{1} = 15$$
$$x_{1} = 15$$
Данные корни
$$x_{1} = 15$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 15$$
=
$$\frac{149}{10}$$
подставляем в выражение
$$6^{- x} \geq 15$$
$$6^{\left(-1\right) \frac{149}{10}} \geq 15$$

   10___          
   \/ 6           
------------ >= 15
470184984576      
      

но

   10___         
   \/ 6          
------------ < 15
470184984576     
     

Тогда
$$x \leq 15$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x \geq 15$$

         _____  
        /
-------•-------
       x_1

Быстрый ответ

     -log(15) 
x <= ---------
       log(6) 

$$x \leq - \frac{\log{\left(15 \right)}}{\log{\left(6 \right)}}$$

Быстрый ответ 2

      -log(15)  
(-oo, ---------]
        log(6)  

$$x\ in\ \left(-\infty, - \frac{\log{\left(15 \right)}}{\log{\left(6 \right)}}\right]$$

График