sin(pi/3-x)+cos(pi/6-x)>=sqrt(3) (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(pi/3-x)+cos(pi/6-x)>=sqrt(3) (множество решений неравенства)

Вы ввели

   /pi    \      /pi    \      ___
sin|-- - x| + cos|-- - x| >= \/ 3 
   \3     /      \6     /         

$$\sin{\left(- x + \frac{\pi}{3} \right)} + \cos{\left(- x + \frac{\pi}{6} \right)} \geq \sqrt{3}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin{\left(- x + \frac{\pi}{3} \right)} + \cos{\left(- x + \frac{\pi}{6} \right)} \geq \sqrt{3}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left(- x + \frac{\pi}{3} \right)} + \cos{\left(- x + \frac{\pi}{6} \right)} = \sqrt{3}$$
Решаем:
$$x_{1} = - i \log{\left(\frac{\sqrt[6]{-1} \left(\left(1 + \sqrt[3]{-1}\right) \sqrt{1 - \sqrt[3]{-1} + e^{\frac{2 i \pi}{3}}} + \sqrt[3]{-1} \sqrt{3} \cdot \left(1 - \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}\right)\right)}{\left(1 - \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}\right) \left(\left(-1\right)^{\frac{2}{3}} + e^{\frac{i \pi}{3}}\right)} \right)}$$
$$x_{2} = - i \log{\left(\frac{\left(-1\right)^{\frac{5}{6}} \left(- \left(-1\right)^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cdot \left(1 - \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}\right) + \left(\left(-1\right)^{\frac{2}{3}} + e^{\frac{i \pi}{3}}\right) \sqrt{1 - \sqrt[3]{-1} + e^{\frac{2 i \pi}{3}}}\right)}{\left(1 - \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}\right) \left(\left(-1\right)^{\frac{2}{3}} + e^{\frac{i \pi}{3}}\right)} \right)}$$
Исключаем комплексные решения:
Данное ур-ние не имеет решений,
значит данное неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда
проверим
подставляем произвольную точку, например

x0 = 0

$$\sin{\left(\left(-1\right) 0 + \frac{\pi}{3} \right)} + \cos{\left(\left(-1\right) 0 + \frac{\pi}{6} \right)} \geq \sqrt{3}$$

  ___      ___
\/ 3  >= \/ 3 
    

зн. неравенство выполняется всегда

Быстрый ответ

x = 0

$$x = 0$$

Быстрый ответ 2

{0}

$$x\ in\ \left\{0\right\}$$

График