sin(pi*x)<0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(pi*x)<0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

sin(pi*x) < 0

$$\sin{\left (\pi x \right )} < 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin{\left (\pi x \right )} < 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left (\pi x \right )} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left (\pi x \right )} = 0$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние

с изменением знака при 0

Получим:
$$\sin{\left (\pi x \right )} = 0$$
Это ур-ние преобразуется в
$$\pi x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (0 \right )}$$
$$\pi x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (0 \right )} + \pi$$
Или
$$\pi x = 2 \pi n$$
$$\pi x = 2 \pi n + \pi$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$\pi$$
$$x_{1} = 2 n$$
$$x_{2} = \frac{1}{\pi} \left(2 \pi n + \pi\right)$$
$$x_{1} = 2 n$$
$$x_{2} = \frac{1}{\pi} \left(2 \pi n + \pi\right)$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 n$$
$$x_{2} = \frac{1}{\pi} \left(2 \pi n + \pi\right)$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$2 n + - \frac{1}{10}$$
=
$$2 n - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left (\pi x \right )} < 0$$
$$\sin{\left (\pi \left(2 n - \frac{1}{10}\right) \right )} < 0$$

sin(pi*(-1/10 + 2*n)) < 0

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < 2 n$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < 2 n$$
$$x > \frac{1}{\pi} \left(2 \pi n + \pi\right)$$

Быстрый ответ

Данное неравенство не имеет решений