sin(2*x)<=0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(2*x)<=0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

sin(2*x) <= 0

$$\sin{\left(2 x \right)} \leq 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin{\left(2 x \right)} \leq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left(2 x \right)} = 0$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние

с изменением знака при 0

Получим:
$$\sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Это ур-ние преобразуется в
$$2 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(0 \right)}$$
$$2 x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(0 \right)} + \pi$$
Или
$$2 x = 2 \pi n$$
$$2 x = 2 \pi n + \pi$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$2$$
$$x_{1} = \pi n$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{1} = \pi n$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left(2 x \right)} \leq 0$$
$$\sin{\left(2 \left(\pi n - \frac{1}{10}\right) \right)} \leq 0$$

-sin(1/5) <= 0

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq \pi n$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x_1      x_2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq \pi n$$
$$x \geq \pi n + \frac{\pi}{2}$$

Быстрый ответ

  /   /pi             \       \
Or|And|-- <= x, x < pi|, x = 0|
  \   \2              /       /

$$\left(\frac{\pi}{2} \leq x \wedge x < \pi\right) \vee x = 0$$

Быстрый ответ 2

       pi     
{0} U [--, pi)
       2      

$$x\ in\ \left\{0\right\} \cup \left[\frac{\pi}{2}, \pi\right)$$

График