sin(2*x-1)>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(2*x-1)>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

sin(2*x - 1) > 0

$$\sin{\left (2 x - 1 \right )} > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin{\left (2 x - 1 \right )} > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left (2 x - 1 \right )} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left (2 x - 1 \right )} = 0$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние

с изменением знака при 0

Получим:
$$\sin{\left (2 x - 1 \right )} = 0$$
Это ур-ние преобразуется в
$$2 x - 1 = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (0 \right )}$$
$$2 x - 1 = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (0 \right )} + \pi$$
Или
$$2 x - 1 = 2 \pi n$$
$$2 x - 1 = 2 \pi n + \pi$$
, где n - любое целое число
Перенесём
$$-1$$
в правую часть ур-ния
с противоположным знаком, итого:
$$2 x = 2 \pi n + 1$$
$$2 x = 2 \pi n + 1 + \pi$$
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$2$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{1}{2} + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{1}{2} + \frac{\pi}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n + \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{1}{2} + \frac{\pi}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n + \frac{1}{2} + - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n + \frac{2}{5}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left (2 x - 1 \right )} > 0$$
$$\sin{\left (2 \left(\pi n + \frac{1}{2} + - \frac{1}{10}\right) - 1 \right )} > 0$$

sin(-1/5 + 2*pi*n) > 0

Тогда
$$x < \pi n + \frac{1}{2}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > \pi n + \frac{1}{2} \wedge x < \pi n + \frac{1}{2} + \frac{\pi}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Быстрый ответ

  /   /             1   pi\     /        1   pi    \\
Or|And|1/2 < x, x < - + --|, And|x < oo, - + -- < x||
  \   \             2   2 /     \        2   2     //

$$\left(\frac{1}{2} < x \wedge x < \frac{1}{2} + \frac{\pi}{2}\right) \vee \left(x < \infty \wedge \frac{1}{2} + \frac{\pi}{2} < x\right)$$

Быстрый ответ 2

      1   pi     1   pi     
(1/2, - + --) U (- + --, oo)
      2   2      2   2      

$$x \in \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2} + \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{2}, \infty\right)$$