sin(t)>=1/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(t)>=1/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

sin(t) >= 1/2

$$\sin{\left(t \right)} \geq \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin{\left(t \right)} \geq \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left(t \right)} = \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left(t \right)} = \frac{1}{2}$$
преобразуем
$$\sin{\left(t \right)} - \frac{1}{2} = 0$$
$$\sin{\left(t \right)} - \frac{1}{2} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(t \right)}$$
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$w = \frac{1}{2}$$
Получим ответ: w = 1/2
делаем обратную замену
$$\sin{\left(t \right)} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = -12.0427718387609$$
$$x_{2} = 34.0339204138894$$
$$x_{3} = 2.61799387799149$$
$$x_{4} = -41.3643032722656$$
$$x_{5} = 6.80678408277789$$
$$x_{6} = 8.90117918517108$$
$$x_{7} = -2650.98060085419$$
$$x_{8} = 40.317105721069$$
$$x_{9} = -16.2315620435473$$
$$x_{10} = -85.3466004225227$$
$$x_{11} = 0.523598775598299$$
$$x_{12} = 65.4498469497874$$
$$x_{13} = -93.7241808320955$$
$$x_{14} = 71.733032256967$$
$$x_{15} = 31.9395253114962$$
$$x_{16} = 44.5058959258554$$
$$x_{17} = -68.5914396033772$$
$$x_{18} = -43.4586983746588$$
$$x_{19} = -24.60914245312$$
$$x_{20} = -3.66519142918809$$
$$x_{21} = -60.2138591938044$$
$$x_{22} = 50.789081233035$$
$$x_{23} = -100.007366139275$$
$$x_{24} = -87.4409955249159$$
$$x_{25} = 38.2227106186758$$
$$x_{26} = 138.753675533549$$
$$x_{27} = 96.8657734856853$$
$$x_{28} = -5.75958653158129$$
$$x_{29} = 57.0722665402146$$
$$x_{30} = 88.4881930761125$$
$$x_{31} = 27.7507351067098$$
$$x_{32} = 19.3731546971371$$
$$x_{33} = -18.3259571459405$$
$$x_{34} = 90.5825881785057$$
$$x_{35} = 84.2994028713261$$
$$x_{36} = -37.1755130674792$$
$$x_{37} = -22.5147473507269$$
$$x_{38} = -81.1578102177363$$
$$x_{39} = -74.8746249105567$$
$$x_{40} = 94.7713783832921$$
$$x_{41} = 15.1843644923507$$
$$x_{42} = 134.564885328763$$
$$x_{43} = -91.6297857297023$$
$$x_{44} = -79.0634151153431$$
$$x_{45} = -62.3082542961976$$
$$x_{46} = -4454.25478401473$$
$$x_{47} = -9.94837673636768$$
$$x_{48} = 17438.4572213013$$
$$x_{49} = 25.6563400043166$$
$$x_{50} = 59.1666616426078$$
$$x_{51} = -66.497044500984$$
$$x_{52} = -53.9306738866248$$
$$x_{53} = 21.4675497995303$$
$$x_{54} = -28.7979326579064$$
$$x_{55} = 82.2050077689329$$
$$x_{56} = -56.025068989018$$
$$x_{57} = 69.6386371545737$$
$$x_{58} = 63.3554518473942$$
$$x_{59} = 52.8834763354282$$
$$x_{60} = 13.0899693899575$$
$$x_{61} = -30.8923277602996$$
$$x_{62} = -72.7802298081635$$
$$x_{63} = 78.0162175641465$$
$$x_{64} = -49.7418836818384$$
$$x_{65} = 101.054563690472$$
$$x_{66} = 75.9218224617533$$
$$x_{67} = -97.9129710368819$$
$$x_{68} = -47.6474885794452$$
$$x_{69} = -627.79493194236$$
$$x_{70} = -35.081117965086$$
$$x_{71} = 46.6002910282486$$
$$x_{1} = -12.0427718387609$$
$$x_{2} = 34.0339204138894$$
$$x_{3} = 2.61799387799149$$
$$x_{4} = -41.3643032722656$$
$$x_{5} = 6.80678408277789$$
$$x_{6} = 8.90117918517108$$
$$x_{7} = -2650.98060085419$$
$$x_{8} = 40.317105721069$$
$$x_{9} = -16.2315620435473$$
$$x_{10} = -85.3466004225227$$
$$x_{11} = 0.523598775598299$$
$$x_{12} = 65.4498469497874$$
$$x_{13} = -93.7241808320955$$
$$x_{14} = 71.733032256967$$
$$x_{15} = 31.9395253114962$$
$$x_{16} = 44.5058959258554$$
$$x_{17} = -68.5914396033772$$
$$x_{18} = -43.4586983746588$$
$$x_{19} = -24.60914245312$$
$$x_{20} = -3.66519142918809$$
$$x_{21} = -60.2138591938044$$
$$x_{22} = 50.789081233035$$
$$x_{23} = -100.007366139275$$
$$x_{24} = -87.4409955249159$$
$$x_{25} = 38.2227106186758$$
$$x_{26} = 138.753675533549$$
$$x_{27} = 96.8657734856853$$
$$x_{28} = -5.75958653158129$$
$$x_{29} = 57.0722665402146$$
$$x_{30} = 88.4881930761125$$
$$x_{31} = 27.7507351067098$$
$$x_{32} = 19.3731546971371$$
$$x_{33} = -18.3259571459405$$
$$x_{34} = 90.5825881785057$$
$$x_{35} = 84.2994028713261$$
$$x_{36} = -37.1755130674792$$
$$x_{37} = -22.5147473507269$$
$$x_{38} = -81.1578102177363$$
$$x_{39} = -74.8746249105567$$
$$x_{40} = 94.7713783832921$$
$$x_{41} = 15.1843644923507$$
$$x_{42} = 134.564885328763$$
$$x_{43} = -91.6297857297023$$
$$x_{44} = -79.0634151153431$$
$$x_{45} = -62.3082542961976$$
$$x_{46} = -4454.25478401473$$
$$x_{47} = -9.94837673636768$$
$$x_{48} = 17438.4572213013$$
$$x_{49} = 25.6563400043166$$
$$x_{50} = 59.1666616426078$$
$$x_{51} = -66.497044500984$$
$$x_{52} = -53.9306738866248$$
$$x_{53} = 21.4675497995303$$
$$x_{54} = -28.7979326579064$$
$$x_{55} = 82.2050077689329$$
$$x_{56} = -56.025068989018$$
$$x_{57} = 69.6386371545737$$
$$x_{58} = 63.3554518473942$$
$$x_{59} = 52.8834763354282$$
$$x_{60} = 13.0899693899575$$
$$x_{61} = -30.8923277602996$$
$$x_{62} = -72.7802298081635$$
$$x_{63} = 78.0162175641465$$
$$x_{64} = -49.7418836818384$$
$$x_{65} = 101.054563690472$$
$$x_{66} = 75.9218224617533$$
$$x_{67} = -97.9129710368819$$
$$x_{68} = -47.6474885794452$$
$$x_{69} = -627.79493194236$$
$$x_{70} = -35.081117965086$$
$$x_{71} = 46.6002910282486$$
Данные корни
$$x_{46} = -4454.25478401473$$
$$x_{7} = -2650.98060085419$$
$$x_{69} = -627.79493194236$$
$$x_{23} = -100.007366139275$$
$$x_{67} = -97.9129710368819$$
$$x_{13} = -93.7241808320955$$
$$x_{43} = -91.6297857297023$$
$$x_{24} = -87.4409955249159$$
$$x_{10} = -85.3466004225227$$
$$x_{38} = -81.1578102177363$$
$$x_{44} = -79.0634151153431$$
$$x_{39} = -74.8746249105567$$
$$x_{62} = -72.7802298081635$$
$$x_{17} = -68.5914396033772$$
$$x_{51} = -66.497044500984$$
$$x_{45} = -62.3082542961976$$
$$x_{21} = -60.2138591938044$$
$$x_{56} = -56.025068989018$$
$$x_{52} = -53.9306738866248$$
$$x_{64} = -49.7418836818384$$
$$x_{68} = -47.6474885794452$$
$$x_{18} = -43.4586983746588$$
$$x_{4} = -41.3643032722656$$
$$x_{36} = -37.1755130674792$$
$$x_{70} = -35.081117965086$$
$$x_{61} = -30.8923277602996$$
$$x_{54} = -28.7979326579064$$
$$x_{19} = -24.60914245312$$
$$x_{37} = -22.5147473507269$$
$$x_{33} = -18.3259571459405$$
$$x_{9} = -16.2315620435473$$
$$x_{1} = -12.0427718387609$$
$$x_{47} = -9.94837673636768$$
$$x_{28} = -5.75958653158129$$
$$x_{20} = -3.66519142918809$$
$$x_{11} = 0.523598775598299$$
$$x_{3} = 2.61799387799149$$
$$x_{5} = 6.80678408277789$$
$$x_{6} = 8.90117918517108$$
$$x_{60} = 13.0899693899575$$
$$x_{41} = 15.1843644923507$$
$$x_{32} = 19.3731546971371$$
$$x_{53} = 21.4675497995303$$
$$x_{49} = 25.6563400043166$$
$$x_{31} = 27.7507351067098$$
$$x_{15} = 31.9395253114962$$
$$x_{2} = 34.0339204138894$$
$$x_{25} = 38.2227106186758$$
$$x_{8} = 40.317105721069$$
$$x_{16} = 44.5058959258554$$
$$x_{71} = 46.6002910282486$$
$$x_{22} = 50.789081233035$$
$$x_{59} = 52.8834763354282$$
$$x_{29} = 57.0722665402146$$
$$x_{50} = 59.1666616426078$$
$$x_{58} = 63.3554518473942$$
$$x_{12} = 65.4498469497874$$
$$x_{57} = 69.6386371545737$$
$$x_{14} = 71.733032256967$$
$$x_{66} = 75.9218224617533$$
$$x_{63} = 78.0162175641465$$
$$x_{55} = 82.2050077689329$$
$$x_{35} = 84.2994028713261$$
$$x_{30} = 88.4881930761125$$
$$x_{34} = 90.5825881785057$$
$$x_{40} = 94.7713783832921$$
$$x_{27} = 96.8657734856853$$
$$x_{65} = 101.054563690472$$
$$x_{42} = 134.564885328763$$
$$x_{26} = 138.753675533549$$
$$x_{48} = 17438.4572213013$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{46}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{46} - \frac{1}{10}$$
=
$$-4454.25478401473 - \frac{1}{10}$$
=
$$-4454.35478401473$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left(t \right)} \geq \frac{1}{2}$$
$$\sin{\left(t \right)} \geq \frac{1}{2}$$

sin(t) >= 1/2

Тогда
$$x \leq -4454.25478401473$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq -4454.25478401473 \wedge x \leq -2650.98060085419$$

         _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____  
        /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /
-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------
       x_46      x_7      x_69      x_23      x_67      x_13      x_43      x_24      x_10      x_38      x_44      x_39      x_62      x_17      x_51      x_45      x_21      x_56      x_52      x_64      x_68      x_18      x_4      x_36      x_70      x_61      x_54      x_19      x_37      x_33      x_9      x_1      x_47      x_28      x_20      x_11      x_3      x_5      x_6      x_60      x_41      x_32      x_53      x_49      x_31      x_15      x_2      x_25      x_8      x_16      x_71      x_22      x_59      x_29      x_50      x_58      x_12      x_57      x_14      x_66      x_63      x_55      x_35      x_30      x_34      x_40      x_27      x_65      x_42      x_26      x_48

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \geq -4454.25478401473 \wedge x \leq -2650.98060085419$$
$$x \geq -627.79493194236 \wedge x \leq -100.007366139275$$
$$x \geq -97.9129710368819 \wedge x \leq -93.7241808320955$$
$$x \geq -91.6297857297023 \wedge x \leq -87.4409955249159$$
$$x \geq -85.3466004225227 \wedge x \leq -81.1578102177363$$
$$x \geq -79.0634151153431 \wedge x \leq -74.8746249105567$$
$$x \geq -72.7802298081635 \wedge x \leq -68.5914396033772$$
$$x \geq -66.497044500984 \wedge x \leq -62.3082542961976$$
$$x \geq -60.2138591938044 \wedge x \leq -56.025068989018$$
$$x \geq -53.9306738866248 \wedge x \leq -49.7418836818384$$
$$x \geq -47.6474885794452 \wedge x \leq -43.4586983746588$$
$$x \geq -41.3643032722656 \wedge x \leq -37.1755130674792$$
$$x \geq -35.081117965086 \wedge x \leq -30.8923277602996$$
$$x \geq -28.7979326579064 \wedge x \leq -24.60914245312$$
$$x \geq -22.5147473507269 \wedge x \leq -18.3259571459405$$
$$x \geq -16.2315620435473 \wedge x \leq -12.0427718387609$$
$$x \geq -9.94837673636768 \wedge x \leq -5.75958653158129$$
$$x \geq -3.66519142918809 \wedge x \leq 0.523598775598299$$
$$x \geq 2.61799387799149 \wedge x \leq 6.80678408277789$$
$$x \geq 8.90117918517108 \wedge x \leq 13.0899693899575$$
$$x \geq 15.1843644923507 \wedge x \leq 19.3731546971371$$
$$x \geq 21.4675497995303 \wedge x \leq 25.6563400043166$$
$$x \geq 27.7507351067098 \wedge x \leq 31.9395253114962$$
$$x \geq 34.0339204138894 \wedge x \leq 38.2227106186758$$
$$x \geq 40.317105721069 \wedge x \leq 44.5058959258554$$
$$x \geq 46.6002910282486 \wedge x \leq 50.789081233035$$
$$x \geq 52.8834763354282 \wedge x \leq 57.0722665402146$$
$$x \geq 59.1666616426078 \wedge x \leq 63.3554518473942$$
$$x \geq 65.4498469497874 \wedge x \leq 69.6386371545737$$
$$x \geq 71.733032256967 \wedge x \leq 75.9218224617533$$
$$x \geq 78.0162175641465 \wedge x \leq 82.2050077689329$$
$$x \geq 84.2994028713261 \wedge x \leq 88.4881930761125$$
$$x \geq 90.5825881785057 \wedge x \leq 94.7713783832921$$
$$x \geq 96.8657734856853 \wedge x \leq 101.054563690472$$
$$x \geq 134.564885328763 \wedge x \leq 138.753675533549$$
$$x \geq 17438.4572213013$$

Быстрый ответ

   /pi            5*pi\
And|-- <= t, t <= ----|
   \6              6  /

$$\frac{\pi}{6} \leq t \wedge t \leq \frac{5 \pi}{6}$$

Быстрый ответ 2

 pi  5*pi 
[--, ----]
 6    6   

$$x\ in\ \left[\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]$$