sin(t)>-1/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(t)>-1/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

sin(t) > -1/2

$$\sin{\left(t \right)} > - \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin{\left (t \right )} > - \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left (t \right )} = - \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left (t \right )} = - \frac{1}{2}$$
преобразуем
$$\sin{\left (t \right )} + \frac{1}{2} = 0$$
$$\sin{\left (t \right )} + \frac{1}{2} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (t \right )}$$
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$w = - \frac{1}{2}$$
Получим ответ: w = -1/2
делаем обратную замену
$$\sin{\left (t \right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = -69.6386371546$$
$$x_{2} = -88.4881930761$$
$$x_{3} = -38.2227106187$$
$$x_{4} = 100.007366139$$
$$x_{5} = -52.8834763354$$
$$x_{6} = -78.0162175641$$
$$x_{7} = -15.1843644924$$
$$x_{8} = 37.1755130675$$
$$x_{9} = 41.3643032723$$
$$x_{10} = 437.204977625$$
$$x_{11} = 72.7802298082$$
$$x_{12} = -40.3171057211$$
$$x_{13} = 9.94837673637$$
$$x_{14} = 62.3082542962$$
$$x_{15} = 12.0427718388$$
$$x_{16} = -21.4675497995$$
$$x_{17} = -8.90117918517$$
$$x_{18} = 49.7418836818$$
$$x_{19} = -90.5825881785$$
$$x_{20} = -46.6002910282$$
$$x_{21} = -71.733032257$$
$$x_{22} = 192.160750645$$
$$x_{23} = 47.6474885794$$
$$x_{24} = 87.4409955249$$
$$x_{25} = -63.3554518474$$
$$x_{26} = -44.5058959259$$
$$x_{27} = -94.7713783833$$
$$x_{28} = -195.302343298$$
$$x_{29} = -27.7507351067$$
$$x_{30} = 68.5914396034$$
$$x_{31} = 93.7241808321$$
$$x_{32} = 5.75958653158$$
$$x_{33} = -50.789081233$$
$$x_{34} = -65.4498469498$$
$$x_{35} = 43.4586983747$$
$$x_{36} = -0.523598775598$$
$$x_{37} = -96.8657734857$$
$$x_{38} = 66.497044501$$
$$x_{39} = 22.5147473507$$
$$x_{40} = -82.2050077689$$
$$x_{41} = -84.2994028713$$
$$x_{42} = 30.8923277603$$
$$x_{43} = 18.3259571459$$
$$x_{44} = 79.0634151153$$
$$x_{45} = -57.0722665402$$
$$x_{46} = -13.08996939$$
$$x_{47} = 85.3466004225$$
$$x_{48} = -34.0339204139$$
$$x_{49} = 81.1578102177$$
$$x_{50} = -101.05456369$$
$$x_{51} = 53.9306738866$$
$$x_{52} = 56.025068989$$
$$x_{53} = -151.320046148$$
$$x_{54} = 35.0811179651$$
$$x_{55} = -2.61799387799$$
$$x_{56} = 3.66519142919$$
$$x_{57} = 24.6091424531$$
$$x_{58} = 28.7979326579$$
$$x_{59} = -6.80678408278$$
$$x_{60} = 97.9129710369$$
$$x_{61} = 74.8746249106$$
$$x_{62} = -59.1666616426$$
$$x_{63} = 60.2138591938$$
$$x_{64} = -19.3731546971$$
$$x_{65} = 91.6297857297$$
$$x_{66} = -31.9395253115$$
$$x_{67} = -25.6563400043$$
$$x_{68} = 66400.1787275$$
$$x_{69} = 16.2315620435$$
$$x_{70} = -75.9218224618$$
$$x_{1} = -69.6386371546$$
$$x_{2} = -88.4881930761$$
$$x_{3} = -38.2227106187$$
$$x_{4} = 100.007366139$$
$$x_{5} = -52.8834763354$$
$$x_{6} = -78.0162175641$$
$$x_{7} = -15.1843644924$$
$$x_{8} = 37.1755130675$$
$$x_{9} = 41.3643032723$$
$$x_{10} = 437.204977625$$
$$x_{11} = 72.7802298082$$
$$x_{12} = -40.3171057211$$
$$x_{13} = 9.94837673637$$
$$x_{14} = 62.3082542962$$
$$x_{15} = 12.0427718388$$
$$x_{16} = -21.4675497995$$
$$x_{17} = -8.90117918517$$
$$x_{18} = 49.7418836818$$
$$x_{19} = -90.5825881785$$
$$x_{20} = -46.6002910282$$
$$x_{21} = -71.733032257$$
$$x_{22} = 192.160750645$$
$$x_{23} = 47.6474885794$$
$$x_{24} = 87.4409955249$$
$$x_{25} = -63.3554518474$$
$$x_{26} = -44.5058959259$$
$$x_{27} = -94.7713783833$$
$$x_{28} = -195.302343298$$
$$x_{29} = -27.7507351067$$
$$x_{30} = 68.5914396034$$
$$x_{31} = 93.7241808321$$
$$x_{32} = 5.75958653158$$
$$x_{33} = -50.789081233$$
$$x_{34} = -65.4498469498$$
$$x_{35} = 43.4586983747$$
$$x_{36} = -0.523598775598$$
$$x_{37} = -96.8657734857$$
$$x_{38} = 66.497044501$$
$$x_{39} = 22.5147473507$$
$$x_{40} = -82.2050077689$$
$$x_{41} = -84.2994028713$$
$$x_{42} = 30.8923277603$$
$$x_{43} = 18.3259571459$$
$$x_{44} = 79.0634151153$$
$$x_{45} = -57.0722665402$$
$$x_{46} = -13.08996939$$
$$x_{47} = 85.3466004225$$
$$x_{48} = -34.0339204139$$
$$x_{49} = 81.1578102177$$
$$x_{50} = -101.05456369$$
$$x_{51} = 53.9306738866$$
$$x_{52} = 56.025068989$$
$$x_{53} = -151.320046148$$
$$x_{54} = 35.0811179651$$
$$x_{55} = -2.61799387799$$
$$x_{56} = 3.66519142919$$
$$x_{57} = 24.6091424531$$
$$x_{58} = 28.7979326579$$
$$x_{59} = -6.80678408278$$
$$x_{60} = 97.9129710369$$
$$x_{61} = 74.8746249106$$
$$x_{62} = -59.1666616426$$
$$x_{63} = 60.2138591938$$
$$x_{64} = -19.3731546971$$
$$x_{65} = 91.6297857297$$
$$x_{66} = -31.9395253115$$
$$x_{67} = -25.6563400043$$
$$x_{68} = 66400.1787275$$
$$x_{69} = 16.2315620435$$
$$x_{70} = -75.9218224618$$
Данные корни
$$x_{28} = -195.302343298$$
$$x_{53} = -151.320046148$$
$$x_{50} = -101.05456369$$
$$x_{37} = -96.8657734857$$
$$x_{27} = -94.7713783833$$
$$x_{19} = -90.5825881785$$
$$x_{2} = -88.4881930761$$
$$x_{41} = -84.2994028713$$
$$x_{40} = -82.2050077689$$
$$x_{6} = -78.0162175641$$
$$x_{70} = -75.9218224618$$
$$x_{21} = -71.733032257$$
$$x_{1} = -69.6386371546$$
$$x_{34} = -65.4498469498$$
$$x_{25} = -63.3554518474$$
$$x_{62} = -59.1666616426$$
$$x_{45} = -57.0722665402$$
$$x_{5} = -52.8834763354$$
$$x_{33} = -50.789081233$$
$$x_{20} = -46.6002910282$$
$$x_{26} = -44.5058959259$$
$$x_{12} = -40.3171057211$$
$$x_{3} = -38.2227106187$$
$$x_{48} = -34.0339204139$$
$$x_{66} = -31.9395253115$$
$$x_{29} = -27.7507351067$$
$$x_{67} = -25.6563400043$$
$$x_{16} = -21.4675497995$$
$$x_{64} = -19.3731546971$$
$$x_{7} = -15.1843644924$$
$$x_{46} = -13.08996939$$
$$x_{17} = -8.90117918517$$
$$x_{59} = -6.80678408278$$
$$x_{55} = -2.61799387799$$
$$x_{36} = -0.523598775598$$
$$x_{56} = 3.66519142919$$
$$x_{32} = 5.75958653158$$
$$x_{13} = 9.94837673637$$
$$x_{15} = 12.0427718388$$
$$x_{69} = 16.2315620435$$
$$x_{43} = 18.3259571459$$
$$x_{39} = 22.5147473507$$
$$x_{57} = 24.6091424531$$
$$x_{58} = 28.7979326579$$
$$x_{42} = 30.8923277603$$
$$x_{54} = 35.0811179651$$
$$x_{8} = 37.1755130675$$
$$x_{9} = 41.3643032723$$
$$x_{35} = 43.4586983747$$
$$x_{23} = 47.6474885794$$
$$x_{18} = 49.7418836818$$
$$x_{51} = 53.9306738866$$
$$x_{52} = 56.025068989$$
$$x_{63} = 60.2138591938$$
$$x_{14} = 62.3082542962$$
$$x_{38} = 66.497044501$$
$$x_{30} = 68.5914396034$$
$$x_{11} = 72.7802298082$$
$$x_{61} = 74.8746249106$$
$$x_{44} = 79.0634151153$$
$$x_{49} = 81.1578102177$$
$$x_{47} = 85.3466004225$$
$$x_{24} = 87.4409955249$$
$$x_{65} = 91.6297857297$$
$$x_{31} = 93.7241808321$$
$$x_{60} = 97.9129710369$$
$$x_{4} = 100.007366139$$
$$x_{22} = 192.160750645$$
$$x_{10} = 437.204977625$$
$$x_{68} = 66400.1787275$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{28}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{28} - \frac{1}{10}$$
=
$$-195.402343298$$
=
$$-195.402343298$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left (t \right )} > - \frac{1}{2}$$
$$\sin{\left (t \right )} > - \frac{1}{2}$$

sin(t) > -1/2

Тогда
$$x < -195.302343298$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -195.302343298 \wedge x < -151.320046148$$

         _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____  
        /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \  
-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x28      x53      x50      x37      x27      x19      x2      x41      x40      x6      x70      x21      x1      x34      x25      x62      x45      x5      x33      x20      x26      x12      x3      x48      x66      x29      x67      x16      x64      x7      x46      x17      x59      x55      x36      x56      x32      x13      x15      x69      x43      x39      x57      x58      x42      x54      x8      x9      x35      x23      x18      x51      x52      x63      x14      x38      x30      x11      x61      x44      x49      x47      x24      x65      x31      x60      x4      x22      x10      x68

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > -195.302343298 \wedge x < -151.320046148$$
$$x > -101.05456369 \wedge x < -96.8657734857$$
$$x > -94.7713783833 \wedge x < -90.5825881785$$
$$x > -88.4881930761 \wedge x < -84.2994028713$$
$$x > -82.2050077689 \wedge x < -78.0162175641$$
$$x > -75.9218224618 \wedge x < -71.733032257$$
$$x > -69.6386371546 \wedge x < -65.4498469498$$
$$x > -63.3554518474 \wedge x < -59.1666616426$$
$$x > -57.0722665402 \wedge x < -52.8834763354$$
$$x > -50.789081233 \wedge x < -46.6002910282$$
$$x > -44.5058959259 \wedge x < -40.3171057211$$
$$x > -38.2227106187 \wedge x < -34.0339204139$$
$$x > -31.9395253115 \wedge x < -27.7507351067$$
$$x > -25.6563400043 \wedge x < -21.4675497995$$
$$x > -19.3731546971 \wedge x < -15.1843644924$$
$$x > -13.08996939 \wedge x < -8.90117918517$$
$$x > -6.80678408278 \wedge x < -2.61799387799$$
$$x > -0.523598775598 \wedge x < 3.66519142919$$
$$x > 5.75958653158 \wedge x < 9.94837673637$$
$$x > 12.0427718388 \wedge x < 16.2315620435$$
$$x > 18.3259571459 \wedge x < 22.5147473507$$
$$x > 24.6091424531 \wedge x < 28.7979326579$$
$$x > 30.8923277603 \wedge x < 35.0811179651$$
$$x > 37.1755130675 \wedge x < 41.3643032723$$
$$x > 43.4586983747 \wedge x < 47.6474885794$$
$$x > 49.7418836818 \wedge x < 53.9306738866$$
$$x > 56.025068989 \wedge x < 60.2138591938$$
$$x > 62.3082542962 \wedge x < 66.497044501$$
$$x > 68.5914396034 \wedge x < 72.7802298082$$
$$x > 74.8746249106 \wedge x < 79.0634151153$$
$$x > 81.1578102177 \wedge x < 85.3466004225$$
$$x > 87.4409955249 \wedge x < 91.6297857297$$
$$x > 93.7241808321 \wedge x < 97.9129710369$$
$$x > 100.007366139 \wedge x < 192.160750645$$
$$x > 437.204977625 \wedge x < 66400.1787275$$

Быстрый ответ

  /   /            7*pi\     /11*pi              \\
Or|And|0 <= t, t < ----|, And|----- < t, t < 2*pi||
  \   \             6  /     \  6                //

$$\left(0 \leq t \wedge t < \frac{7 \pi}{6}\right) \vee \left(\frac{11 \pi}{6} < t \wedge t < 2 \pi\right)$$

Быстрый ответ 2

    7*pi     11*pi       
[0, ----) U (-----, 2*pi)
     6         6         

$$x\ in\ \left[0, \frac{7 \pi}{6}\right) \cup \left(\frac{11 \pi}{6}, 2 \pi\right)$$