sin(t)<2/5 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(t)<2/5 (множество решений неравенства)

Вы ввели

sin(t) < 2/5

$$\sin{\left (t \right )} < \frac{2}{5}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin{\left (t \right )} < \frac{2}{5}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left (t \right )} = \frac{2}{5}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left (t \right )} = \frac{2}{5}$$
преобразуем
$$\sin{\left (t \right )} - \frac{2}{5} = 0$$
$$\sin{\left (t \right )} - \frac{2}{5} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (t \right )}$$
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$w = \frac{2}{5}$$
Получим ответ: w = 2/5
делаем обратную замену
$$\sin{\left (t \right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 94.6592964538$$
$$x_{2} = -43.5707803042$$
$$x_{3} = 27.8628170362$$
$$x_{4} = 44.3938139963$$
$$x_{5} = 19.2610727676$$
$$x_{6} = 12.9778874604$$
$$x_{7} = -37.287594997$$
$$x_{8} = -47.5354066499$$
$$x_{9} = 84.4114848009$$
$$x_{10} = -3.55310949966$$
$$x_{11} = 201.473446676$$
$$x_{12} = 21.5796317291$$
$$x_{13} = -72.6681478786$$
$$x_{14} = -100.119448069$$
$$x_{15} = 9.0132611147$$
$$x_{16} = -41.2522213427$$
$$x_{17} = -93.8362627616$$
$$x_{18} = -85.234518493$$
$$x_{19} = -12.1548537683$$
$$x_{20} = -24.7212243827$$
$$x_{21} = -60.1017772643$$
$$x_{22} = 100.942481761$$
$$x_{23} = -97.8008891074$$
$$x_{24} = -34.9690360356$$
$$x_{25} = -74.9867068401$$
$$x_{26} = -16.119480114$$
$$x_{27} = -56.1371509185$$
$$x_{28} = 31.827443382$$
$$x_{29} = 0.411516846067$$
$$x_{30} = 88.3761111466$$
$$x_{31} = 38.1106286891$$
$$x_{32} = -22.4026654212$$
$$x_{33} = -5.87166846111$$
$$x_{34} = 56.9601846107$$
$$x_{35} = 15.2964464219$$
$$x_{36} = -31.0044096898$$
$$x_{37} = -49.8539656114$$
$$x_{38} = -62.4203362257$$
$$x_{39} = 69.526555225$$
$$x_{40} = 71.8451141865$$
$$x_{41} = -78.9513331858$$
$$x_{42} = 6.69470215325$$
$$x_{43} = 90.694670108$$
$$x_{44} = 220119.242383$$
$$x_{45} = -66.3849625715$$
$$x_{46} = -91.5177038002$$
$$x_{47} = -28.6858507284$$
$$x_{48} = 59.2787435721$$
$$x_{49} = 82.0929258394$$
$$x_{50} = -18.4380390755$$
$$x_{51} = -53.8185919571$$
$$x_{52} = 50.6769993035$$
$$x_{53} = 34.1460023434$$
$$x_{54} = 697.845085943$$
$$x_{55} = -81.2698921473$$
$$x_{56} = 25.5442580748$$
$$x_{57} = -9.83629480684$$
$$x_{58} = 40.4291876506$$
$$x_{59} = 65.5619288793$$
$$x_{60} = -68.7035215329$$
$$x_{61} = 2.73007580752$$
$$x_{62} = -87.5530774544$$
$$x_{63} = 75.8097405322$$
$$x_{64} = 78.1282994937$$
$$x_{65} = 1388.99546973$$
$$x_{66} = 63.2433699179$$
$$x_{67} = 52.995558265$$
$$x_{68} = 96.9778554152$$
$$x_{69} = 46.7123729578$$
$$x_{1} = 94.6592964538$$
$$x_{2} = -43.5707803042$$
$$x_{3} = 27.8628170362$$
$$x_{4} = 44.3938139963$$
$$x_{5} = 19.2610727676$$
$$x_{6} = 12.9778874604$$
$$x_{7} = -37.287594997$$
$$x_{8} = -47.5354066499$$
$$x_{9} = 84.4114848009$$
$$x_{10} = -3.55310949966$$
$$x_{11} = 201.473446676$$
$$x_{12} = 21.5796317291$$
$$x_{13} = -72.6681478786$$
$$x_{14} = -100.119448069$$
$$x_{15} = 9.0132611147$$
$$x_{16} = -41.2522213427$$
$$x_{17} = -93.8362627616$$
$$x_{18} = -85.234518493$$
$$x_{19} = -12.1548537683$$
$$x_{20} = -24.7212243827$$
$$x_{21} = -60.1017772643$$
$$x_{22} = 100.942481761$$
$$x_{23} = -97.8008891074$$
$$x_{24} = -34.9690360356$$
$$x_{25} = -74.9867068401$$
$$x_{26} = -16.119480114$$
$$x_{27} = -56.1371509185$$
$$x_{28} = 31.827443382$$
$$x_{29} = 0.411516846067$$
$$x_{30} = 88.3761111466$$
$$x_{31} = 38.1106286891$$
$$x_{32} = -22.4026654212$$
$$x_{33} = -5.87166846111$$
$$x_{34} = 56.9601846107$$
$$x_{35} = 15.2964464219$$
$$x_{36} = -31.0044096898$$
$$x_{37} = -49.8539656114$$
$$x_{38} = -62.4203362257$$
$$x_{39} = 69.526555225$$
$$x_{40} = 71.8451141865$$
$$x_{41} = -78.9513331858$$
$$x_{42} = 6.69470215325$$
$$x_{43} = 90.694670108$$
$$x_{44} = 220119.242383$$
$$x_{45} = -66.3849625715$$
$$x_{46} = -91.5177038002$$
$$x_{47} = -28.6858507284$$
$$x_{48} = 59.2787435721$$
$$x_{49} = 82.0929258394$$
$$x_{50} = -18.4380390755$$
$$x_{51} = -53.8185919571$$
$$x_{52} = 50.6769993035$$
$$x_{53} = 34.1460023434$$
$$x_{54} = 697.845085943$$
$$x_{55} = -81.2698921473$$
$$x_{56} = 25.5442580748$$
$$x_{57} = -9.83629480684$$
$$x_{58} = 40.4291876506$$
$$x_{59} = 65.5619288793$$
$$x_{60} = -68.7035215329$$
$$x_{61} = 2.73007580752$$
$$x_{62} = -87.5530774544$$
$$x_{63} = 75.8097405322$$
$$x_{64} = 78.1282994937$$
$$x_{65} = 1388.99546973$$
$$x_{66} = 63.2433699179$$
$$x_{67} = 52.995558265$$
$$x_{68} = 96.9778554152$$
$$x_{69} = 46.7123729578$$
Данные корни
$$x_{14} = -100.119448069$$
$$x_{23} = -97.8008891074$$
$$x_{17} = -93.8362627616$$
$$x_{46} = -91.5177038002$$
$$x_{62} = -87.5530774544$$
$$x_{18} = -85.234518493$$
$$x_{55} = -81.2698921473$$
$$x_{41} = -78.9513331858$$
$$x_{25} = -74.9867068401$$
$$x_{13} = -72.6681478786$$
$$x_{60} = -68.7035215329$$
$$x_{45} = -66.3849625715$$
$$x_{38} = -62.4203362257$$
$$x_{21} = -60.1017772643$$
$$x_{27} = -56.1371509185$$
$$x_{51} = -53.8185919571$$
$$x_{37} = -49.8539656114$$
$$x_{8} = -47.5354066499$$
$$x_{2} = -43.5707803042$$
$$x_{16} = -41.2522213427$$
$$x_{7} = -37.287594997$$
$$x_{24} = -34.9690360356$$
$$x_{36} = -31.0044096898$$
$$x_{47} = -28.6858507284$$
$$x_{20} = -24.7212243827$$
$$x_{32} = -22.4026654212$$
$$x_{50} = -18.4380390755$$
$$x_{26} = -16.119480114$$
$$x_{19} = -12.1548537683$$
$$x_{57} = -9.83629480684$$
$$x_{33} = -5.87166846111$$
$$x_{10} = -3.55310949966$$
$$x_{29} = 0.411516846067$$
$$x_{61} = 2.73007580752$$
$$x_{42} = 6.69470215325$$
$$x_{15} = 9.0132611147$$
$$x_{6} = 12.9778874604$$
$$x_{35} = 15.2964464219$$
$$x_{5} = 19.2610727676$$
$$x_{12} = 21.5796317291$$
$$x_{56} = 25.5442580748$$
$$x_{3} = 27.8628170362$$
$$x_{28} = 31.827443382$$
$$x_{53} = 34.1460023434$$
$$x_{31} = 38.1106286891$$
$$x_{58} = 40.4291876506$$
$$x_{4} = 44.3938139963$$
$$x_{69} = 46.7123729578$$
$$x_{52} = 50.6769993035$$
$$x_{67} = 52.995558265$$
$$x_{34} = 56.9601846107$$
$$x_{48} = 59.2787435721$$
$$x_{66} = 63.2433699179$$
$$x_{59} = 65.5619288793$$
$$x_{39} = 69.526555225$$
$$x_{40} = 71.8451141865$$
$$x_{63} = 75.8097405322$$
$$x_{64} = 78.1282994937$$
$$x_{49} = 82.0929258394$$
$$x_{9} = 84.4114848009$$
$$x_{30} = 88.3761111466$$
$$x_{43} = 90.694670108$$
$$x_{1} = 94.6592964538$$
$$x_{68} = 96.9778554152$$
$$x_{22} = 100.942481761$$
$$x_{11} = 201.473446676$$
$$x_{54} = 697.845085943$$
$$x_{65} = 1388.99546973$$
$$x_{44} = 220119.242383$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{14}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{14} - \frac{1}{10}$$
=
$$-100.219448069$$
=
$$-100.219448069$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left (t \right )} < \frac{2}{5}$$
$$\sin{\left (t \right )} < \frac{2}{5}$$

sin(t) < 2/5

Тогда
$$x < -100.119448069$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -100.119448069 \wedge x < -97.8008891074$$

         _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____  
        /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x14      x23      x17      x46      x62      x18      x55      x41      x25      x13      x60      x45      x38      x21      x27      x51      x37      x8      x2      x16      x7      x24      x36      x47      x20      x32      x50      x26      x19      x57      x33      x10      x29      x61      x42      x15      x6      x35      x5      x12      x56      x3      x28      x53      x31      x58      x4      x69      x52      x67      x34      x48      x66      x59      x39      x40      x63      x64      x49      x9      x30      x43      x1      x68      x22      x11      x54      x65      x44

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > -100.119448069 \wedge x < -97.8008891074$$
$$x > -93.8362627616 \wedge x < -91.5177038002$$
$$x > -87.5530774544 \wedge x < -85.234518493$$
$$x > -81.2698921473 \wedge x < -78.9513331858$$
$$x > -74.9867068401 \wedge x < -72.6681478786$$
$$x > -68.7035215329 \wedge x < -66.3849625715$$
$$x > -62.4203362257 \wedge x < -60.1017772643$$
$$x > -56.1371509185 \wedge x < -53.8185919571$$
$$x > -49.8539656114 \wedge x < -47.5354066499$$
$$x > -43.5707803042 \wedge x < -41.2522213427$$
$$x > -37.287594997 \wedge x < -34.9690360356$$
$$x > -31.0044096898 \wedge x < -28.6858507284$$
$$x > -24.7212243827 \wedge x < -22.4026654212$$
$$x > -18.4380390755 \wedge x < -16.119480114$$
$$x > -12.1548537683 \wedge x < -9.83629480684$$
$$x > -5.87166846111 \wedge x < -3.55310949966$$
$$x > 0.411516846067 \wedge x < 2.73007580752$$
$$x > 6.69470215325 \wedge x < 9.0132611147$$
$$x > 12.9778874604 \wedge x < 15.2964464219$$
$$x > 19.2610727676 \wedge x < 21.5796317291$$
$$x > 25.5442580748 \wedge x < 27.8628170362$$
$$x > 31.827443382 \wedge x < 34.1460023434$$
$$x > 38.1106286891 \wedge x < 40.4291876506$$
$$x > 44.3938139963 \wedge x < 46.7123729578$$
$$x > 50.6769993035 \wedge x < 52.995558265$$
$$x > 56.9601846107 \wedge x < 59.2787435721$$
$$x > 63.2433699179 \wedge x < 65.5619288793$$
$$x > 69.526555225 \wedge x < 71.8451141865$$
$$x > 75.8097405322 \wedge x < 78.1282994937$$
$$x > 82.0929258394 \wedge x < 84.4114848009$$
$$x > 88.3761111466 \wedge x < 90.694670108$$
$$x > 94.6592964538 \wedge x < 96.9778554152$$
$$x > 100.942481761 \wedge x < 201.473446676$$
$$x > 697.845085943 \wedge x < 1388.99546973$$
$$x > 220119.242383$$

Быстрый ответ

Or(And(-oo < t, t < asin(2/5)), And(t < oo, pi - asin(2/5) < t))

$$\left(-\infty < t \wedge t < \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{5} \right )}\right) \vee \left(t < \infty \wedge - \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{5} \right )} + \pi < t\right)$$

Быстрый ответ 2

(-oo, asin(2/5)) U (pi - asin(2/5), oo)

$$x \in \left(-\infty, \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{5} \right )}\right) \cup \left(- \operatorname{asin}{\left (\frac{2}{5} \right )} + \pi, \infty\right)$$