sin(t)<=cos(t) (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(t)<=cos(t) (множество решений неравенства)

Вы ввели

sin(t) <= cos(t)

$$\sin{\left(t \right)} \leq \cos{\left(t \right)}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin{\left(t \right)} \leq \cos{\left(t \right)}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left(t \right)} = \cos{\left(t \right)}$$
Решаем:
$$x_{1} = -11.7809724509617$$
$$x_{2} = 69.9004365423729$$
$$x_{3} = -30.6305283725005$$
$$x_{4} = 95.0331777710912$$
$$x_{5} = -71.4712328691678$$
$$x_{6} = -90.3207887907066$$
$$x_{7} = 51.0508806208341$$
$$x_{8} = 25.9181393921158$$
$$x_{9} = 0.785398163397448$$
$$x_{10} = 35.3429173528852$$
$$x_{11} = -33.7721210260903$$
$$x_{12} = -93.4623814442964$$
$$x_{13} = -228.550865548657$$
$$x_{14} = -18.0641577581413$$
$$x_{15} = 19.6349540849362$$
$$x_{16} = -55.7632696012188$$
$$x_{17} = 7.06858347057703$$
$$x_{18} = 73.0420291959627$$
$$x_{19} = -43.1968989868597$$
$$x_{20} = -14.9225651045515$$
$$x_{21} = 57.3340659280137$$
$$x_{22} = -8.63937979737193$$
$$x_{23} = 98.174770424681$$
$$x_{24} = 47.9092879672443$$
$$x_{25} = -46.3384916404494$$
$$x_{26} = -74.6128255227576$$
$$x_{27} = 1672.11268987317$$
$$x_{28} = 29.0597320457056$$
$$x_{29} = -21.2057504117311$$
$$x_{30} = -68.329640215578$$
$$x_{31} = -99.7455667514759$$
$$x_{32} = 79.3252145031423$$
$$x_{33} = -77.7544181763474$$
$$x_{34} = -84.037603483527$$
$$x_{35} = -27.4889357189107$$
$$x_{36} = 85.6083998103219$$
$$x_{37} = -96.6039740978861$$
$$x_{38} = 10.2101761241668$$
$$x_{39} = 13.3517687777566$$
$$x_{40} = 60.4756585816035$$
$$x_{41} = 3.92699081698724$$
$$x_{42} = -36.9137136796801$$
$$x_{43} = -52.621676947629$$
$$x_{44} = 32.2013246992954$$
$$x_{45} = -62.0464549083984$$
$$x_{46} = -58.9048622548086$$
$$x_{47} = 22.776546738526$$
$$x_{48} = 16.4933614313464$$
$$x_{49} = 41.6261026600648$$
$$x_{50} = -80.8960108299372$$
$$x_{51} = 54.1924732744239$$
$$x_{52} = -5.49778714378214$$
$$x_{53} = 101.316363078271$$
$$x_{54} = -49.4800842940392$$
$$x_{55} = 82.4668071567321$$
$$x_{56} = -65.1880475619882$$
$$x_{57} = 66.7588438887831$$
$$x_{58} = 76.1836218495525$$
$$x_{59} = 91.8915851175014$$
$$x_{60} = -87.1791961371168$$
$$x_{61} = -24.3473430653209$$
$$x_{62} = 63.6172512351933$$
$$x_{63} = -2.35619449019234$$
$$x_{64} = 38.484510006475$$
$$x_{65} = 44.7676953136546$$
$$x_{66} = 88.7499924639117$$
$$x_{67} = -40.0553063332699$$
$$x_{1} = -11.7809724509617$$
$$x_{2} = 69.9004365423729$$
$$x_{3} = -30.6305283725005$$
$$x_{4} = 95.0331777710912$$
$$x_{5} = -71.4712328691678$$
$$x_{6} = -90.3207887907066$$
$$x_{7} = 51.0508806208341$$
$$x_{8} = 25.9181393921158$$
$$x_{9} = 0.785398163397448$$
$$x_{10} = 35.3429173528852$$
$$x_{11} = -33.7721210260903$$
$$x_{12} = -93.4623814442964$$
$$x_{13} = -228.550865548657$$
$$x_{14} = -18.0641577581413$$
$$x_{15} = 19.6349540849362$$
$$x_{16} = -55.7632696012188$$
$$x_{17} = 7.06858347057703$$
$$x_{18} = 73.0420291959627$$
$$x_{19} = -43.1968989868597$$
$$x_{20} = -14.9225651045515$$
$$x_{21} = 57.3340659280137$$
$$x_{22} = -8.63937979737193$$
$$x_{23} = 98.174770424681$$
$$x_{24} = 47.9092879672443$$
$$x_{25} = -46.3384916404494$$
$$x_{26} = -74.6128255227576$$
$$x_{27} = 1672.11268987317$$
$$x_{28} = 29.0597320457056$$
$$x_{29} = -21.2057504117311$$
$$x_{30} = -68.329640215578$$
$$x_{31} = -99.7455667514759$$
$$x_{32} = 79.3252145031423$$
$$x_{33} = -77.7544181763474$$
$$x_{34} = -84.037603483527$$
$$x_{35} = -27.4889357189107$$
$$x_{36} = 85.6083998103219$$
$$x_{37} = -96.6039740978861$$
$$x_{38} = 10.2101761241668$$
$$x_{39} = 13.3517687777566$$
$$x_{40} = 60.4756585816035$$
$$x_{41} = 3.92699081698724$$
$$x_{42} = -36.9137136796801$$
$$x_{43} = -52.621676947629$$
$$x_{44} = 32.2013246992954$$
$$x_{45} = -62.0464549083984$$
$$x_{46} = -58.9048622548086$$
$$x_{47} = 22.776546738526$$
$$x_{48} = 16.4933614313464$$
$$x_{49} = 41.6261026600648$$
$$x_{50} = -80.8960108299372$$
$$x_{51} = 54.1924732744239$$
$$x_{52} = -5.49778714378214$$
$$x_{53} = 101.316363078271$$
$$x_{54} = -49.4800842940392$$
$$x_{55} = 82.4668071567321$$
$$x_{56} = -65.1880475619882$$
$$x_{57} = 66.7588438887831$$
$$x_{58} = 76.1836218495525$$
$$x_{59} = 91.8915851175014$$
$$x_{60} = -87.1791961371168$$
$$x_{61} = -24.3473430653209$$
$$x_{62} = 63.6172512351933$$
$$x_{63} = -2.35619449019234$$
$$x_{64} = 38.484510006475$$
$$x_{65} = 44.7676953136546$$
$$x_{66} = 88.7499924639117$$
$$x_{67} = -40.0553063332699$$
Данные корни
$$x_{13} = -228.550865548657$$
$$x_{31} = -99.7455667514759$$
$$x_{37} = -96.6039740978861$$
$$x_{12} = -93.4623814442964$$
$$x_{6} = -90.3207887907066$$
$$x_{60} = -87.1791961371168$$
$$x_{34} = -84.037603483527$$
$$x_{50} = -80.8960108299372$$
$$x_{33} = -77.7544181763474$$
$$x_{26} = -74.6128255227576$$
$$x_{5} = -71.4712328691678$$
$$x_{30} = -68.329640215578$$
$$x_{56} = -65.1880475619882$$
$$x_{45} = -62.0464549083984$$
$$x_{46} = -58.9048622548086$$
$$x_{16} = -55.7632696012188$$
$$x_{43} = -52.621676947629$$
$$x_{54} = -49.4800842940392$$
$$x_{25} = -46.3384916404494$$
$$x_{19} = -43.1968989868597$$
$$x_{67} = -40.0553063332699$$
$$x_{42} = -36.9137136796801$$
$$x_{11} = -33.7721210260903$$
$$x_{3} = -30.6305283725005$$
$$x_{35} = -27.4889357189107$$
$$x_{61} = -24.3473430653209$$
$$x_{29} = -21.2057504117311$$
$$x_{14} = -18.0641577581413$$
$$x_{20} = -14.9225651045515$$
$$x_{1} = -11.7809724509617$$
$$x_{22} = -8.63937979737193$$
$$x_{52} = -5.49778714378214$$
$$x_{63} = -2.35619449019234$$
$$x_{9} = 0.785398163397448$$
$$x_{41} = 3.92699081698724$$
$$x_{17} = 7.06858347057703$$
$$x_{38} = 10.2101761241668$$
$$x_{39} = 13.3517687777566$$
$$x_{48} = 16.4933614313464$$
$$x_{15} = 19.6349540849362$$
$$x_{47} = 22.776546738526$$
$$x_{8} = 25.9181393921158$$
$$x_{28} = 29.0597320457056$$
$$x_{44} = 32.2013246992954$$
$$x_{10} = 35.3429173528852$$
$$x_{64} = 38.484510006475$$
$$x_{49} = 41.6261026600648$$
$$x_{65} = 44.7676953136546$$
$$x_{24} = 47.9092879672443$$
$$x_{7} = 51.0508806208341$$
$$x_{51} = 54.1924732744239$$
$$x_{21} = 57.3340659280137$$
$$x_{40} = 60.4756585816035$$
$$x_{62} = 63.6172512351933$$
$$x_{57} = 66.7588438887831$$
$$x_{2} = 69.9004365423729$$
$$x_{18} = 73.0420291959627$$
$$x_{58} = 76.1836218495525$$
$$x_{32} = 79.3252145031423$$
$$x_{55} = 82.4668071567321$$
$$x_{36} = 85.6083998103219$$
$$x_{66} = 88.7499924639117$$
$$x_{59} = 91.8915851175014$$
$$x_{4} = 95.0331777710912$$
$$x_{23} = 98.174770424681$$
$$x_{53} = 101.316363078271$$
$$x_{27} = 1672.11268987317$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{13}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{13} - \frac{1}{10}$$
=
$$-228.550865548657 - \frac{1}{10}$$
=
$$-228.650865548657$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left(t \right)} \leq \cos{\left(t \right)}$$
$$\sin{\left(t \right)} \leq \cos{\left(t \right)}$$

sin(t) <= cos(t)

Тогда
$$x \leq -228.550865548657$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq -228.550865548657 \wedge x \leq -99.7455667514759$$

         _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____  
        /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /
-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------
       x13      x31      x37      x12      x6      x60      x34      x50      x33      x26      x5      x30      x56      x45      x46      x16      x43      x54      x25      x19      x67      x42      x11      x3      x35      x61      x29      x14      x20      x1      x22      x52      x63      x9      x41      x17      x38      x39      x48      x15      x47      x8      x28      x44      x10      x64      x49      x65      x24      x7      x51      x21      x40      x62      x57      x2      x18      x58      x32      x55      x36      x66      x59      x4      x23      x53      x27

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \geq -228.550865548657 \wedge x \leq -99.7455667514759$$
$$x \geq -96.6039740978861 \wedge x \leq -93.4623814442964$$
$$x \geq -90.3207887907066 \wedge x \leq -87.1791961371168$$
$$x \geq -84.037603483527 \wedge x \leq -80.8960108299372$$
$$x \geq -77.7544181763474 \wedge x \leq -74.6128255227576$$
$$x \geq -71.4712328691678 \wedge x \leq -68.329640215578$$
$$x \geq -65.1880475619882 \wedge x \leq -62.0464549083984$$
$$x \geq -58.9048622548086 \wedge x \leq -55.7632696012188$$
$$x \geq -52.621676947629 \wedge x \leq -49.4800842940392$$
$$x \geq -46.3384916404494 \wedge x \leq -43.1968989868597$$
$$x \geq -40.0553063332699 \wedge x \leq -36.9137136796801$$
$$x \geq -33.7721210260903 \wedge x \leq -30.6305283725005$$
$$x \geq -27.4889357189107 \wedge x \leq -24.3473430653209$$
$$x \geq -21.2057504117311 \wedge x \leq -18.0641577581413$$
$$x \geq -14.9225651045515 \wedge x \leq -11.7809724509617$$
$$x \geq -8.63937979737193 \wedge x \leq -5.49778714378214$$
$$x \geq -2.35619449019234 \wedge x \leq 0.785398163397448$$
$$x \geq 3.92699081698724 \wedge x \leq 7.06858347057703$$
$$x \geq 10.2101761241668 \wedge x \leq 13.3517687777566$$
$$x \geq 16.4933614313464 \wedge x \leq 19.6349540849362$$
$$x \geq 22.776546738526 \wedge x \leq 25.9181393921158$$
$$x \geq 29.0597320457056 \wedge x \leq 32.2013246992954$$
$$x \geq 35.3429173528852 \wedge x \leq 38.484510006475$$
$$x \geq 41.6261026600648 \wedge x \leq 44.7676953136546$$
$$x \geq 47.9092879672443 \wedge x \leq 51.0508806208341$$
$$x \geq 54.1924732744239 \wedge x \leq 57.3340659280137$$
$$x \geq 60.4756585816035 \wedge x \leq 63.6172512351933$$
$$x \geq 66.7588438887831 \wedge x \leq 69.9004365423729$$
$$x \geq 73.0420291959627 \wedge x \leq 76.1836218495525$$
$$x \geq 79.3252145031423 \wedge x \leq 82.4668071567321$$
$$x \geq 85.6083998103219 \wedge x \leq 88.7499924639117$$
$$x \geq 91.8915851175014 \wedge x \leq 95.0331777710912$$
$$x \geq 98.174770424681 \wedge x \leq 101.316363078271$$
$$x \geq 1672.11268987317$$

Быстрый ответ

  /   /             pi\     /5*pi               \\
Or|And|0 <= t, t <= --|, And|---- <= t, t < 2*pi||
  \   \             4 /     \ 4                 //

$$\left(0 \leq t \wedge t \leq \frac{\pi}{4}\right) \vee \left(\frac{5 \pi}{4} \leq t \wedge t < 2 \pi\right)$$

Быстрый ответ 2

    pi     5*pi       
[0, --] U [----, 2*pi)
    4       4         

$$x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{4}, 2 \pi\right)$$