sin(t)<-1/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(t)<-1/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

sin(t) < -1/2

$$\sin{\left(t \right)} < - \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin{\left(t \right)} < - \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left(t \right)} = - \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left(t \right)} = - \frac{1}{2}$$
преобразуем
$$\sin{\left(t \right)} + \frac{1}{2} = 0$$
$$\sin{\left(t \right)} + \frac{1}{2} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(t \right)}$$
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$w = - \frac{1}{2}$$
Получим ответ: w = -1/2
делаем обратную замену
$$\sin{\left(t \right)} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 35.081117965086$$
$$x_{2} = -8.90117918517108$$
$$x_{3} = 192.160750644576$$
$$x_{4} = -88.4881930761125$$
$$x_{5} = -94.7713783832921$$
$$x_{6} = 53.9306738866248$$
$$x_{7} = 85.3466004225227$$
$$x_{8} = -6.80678408277789$$
$$x_{9} = 43.4586983746588$$
$$x_{10} = -50.789081233035$$
$$x_{11} = -71.733032256967$$
$$x_{12} = 97.9129710368819$$
$$x_{13} = 30.8923277602996$$
$$x_{14} = -151.320046147908$$
$$x_{15} = 62.3082542961976$$
$$x_{16} = -40.317105721069$$
$$x_{17} = -69.6386371545737$$
$$x_{18} = 91.6297857297023$$
$$x_{19} = -38.2227106186758$$
$$x_{20} = -31.9395253114962$$
$$x_{21} = 87.4409955249159$$
$$x_{22} = 66400.1787274983$$
$$x_{23} = 100.007366139275$$
$$x_{24} = 18.3259571459405$$
$$x_{25} = -57.0722665402146$$
$$x_{26} = -13.0899693899575$$
$$x_{27} = 3.66519142918809$$
$$x_{28} = -101.054563690472$$
$$x_{29} = -96.8657734856853$$
$$x_{30} = -0.523598775598299$$
$$x_{31} = 66.497044500984$$
$$x_{32} = -2.61799387799149$$
$$x_{33} = -63.3554518473942$$
$$x_{34} = -90.5825881785057$$
$$x_{35} = 12.0427718387609$$
$$x_{36} = 24.60914245312$$
$$x_{37} = 49.7418836818384$$
$$x_{38} = -19.3731546971371$$
$$x_{39} = 79.0634151153431$$
$$x_{40} = -59.1666616426078$$
$$x_{41} = -195.302343298165$$
$$x_{42} = 9.94837673636768$$
$$x_{43} = -25.6563400043166$$
$$x_{44} = -21.4675497995303$$
$$x_{45} = -46.6002910282486$$
$$x_{46} = 22.5147473507269$$
$$x_{47} = 68.5914396033772$$
$$x_{48} = 16.2315620435473$$
$$x_{49} = -15.1843644923507$$
$$x_{50} = -78.0162175641465$$
$$x_{51} = -65.4498469497874$$
$$x_{52} = 74.8746249105567$$
$$x_{53} = 28.7979326579064$$
$$x_{54} = 60.2138591938044$$
$$x_{55} = -82.2050077689329$$
$$x_{56} = 93.7241808320955$$
$$x_{57} = 81.1578102177363$$
$$x_{58} = 437.20497762458$$
$$x_{59} = 56.025068989018$$
$$x_{60} = 37.1755130674792$$
$$x_{61} = 47.6474885794452$$
$$x_{62} = -27.7507351067098$$
$$x_{63} = -84.2994028713261$$
$$x_{64} = 72.7802298081635$$
$$x_{65} = -34.0339204138894$$
$$x_{66} = 5.75958653158129$$
$$x_{67} = -75.9218224617533$$
$$x_{68} = 41.3643032722656$$
$$x_{69} = -44.5058959258554$$
$$x_{70} = -52.8834763354282$$
$$x_{1} = 35.081117965086$$
$$x_{2} = -8.90117918517108$$
$$x_{3} = 192.160750644576$$
$$x_{4} = -88.4881930761125$$
$$x_{5} = -94.7713783832921$$
$$x_{6} = 53.9306738866248$$
$$x_{7} = 85.3466004225227$$
$$x_{8} = -6.80678408277789$$
$$x_{9} = 43.4586983746588$$
$$x_{10} = -50.789081233035$$
$$x_{11} = -71.733032256967$$
$$x_{12} = 97.9129710368819$$
$$x_{13} = 30.8923277602996$$
$$x_{14} = -151.320046147908$$
$$x_{15} = 62.3082542961976$$
$$x_{16} = -40.317105721069$$
$$x_{17} = -69.6386371545737$$
$$x_{18} = 91.6297857297023$$
$$x_{19} = -38.2227106186758$$
$$x_{20} = -31.9395253114962$$
$$x_{21} = 87.4409955249159$$
$$x_{22} = 66400.1787274983$$
$$x_{23} = 100.007366139275$$
$$x_{24} = 18.3259571459405$$
$$x_{25} = -57.0722665402146$$
$$x_{26} = -13.0899693899575$$
$$x_{27} = 3.66519142918809$$
$$x_{28} = -101.054563690472$$
$$x_{29} = -96.8657734856853$$
$$x_{30} = -0.523598775598299$$
$$x_{31} = 66.497044500984$$
$$x_{32} = -2.61799387799149$$
$$x_{33} = -63.3554518473942$$
$$x_{34} = -90.5825881785057$$
$$x_{35} = 12.0427718387609$$
$$x_{36} = 24.60914245312$$
$$x_{37} = 49.7418836818384$$
$$x_{38} = -19.3731546971371$$
$$x_{39} = 79.0634151153431$$
$$x_{40} = -59.1666616426078$$
$$x_{41} = -195.302343298165$$
$$x_{42} = 9.94837673636768$$
$$x_{43} = -25.6563400043166$$
$$x_{44} = -21.4675497995303$$
$$x_{45} = -46.6002910282486$$
$$x_{46} = 22.5147473507269$$
$$x_{47} = 68.5914396033772$$
$$x_{48} = 16.2315620435473$$
$$x_{49} = -15.1843644923507$$
$$x_{50} = -78.0162175641465$$
$$x_{51} = -65.4498469497874$$
$$x_{52} = 74.8746249105567$$
$$x_{53} = 28.7979326579064$$
$$x_{54} = 60.2138591938044$$
$$x_{55} = -82.2050077689329$$
$$x_{56} = 93.7241808320955$$
$$x_{57} = 81.1578102177363$$
$$x_{58} = 437.20497762458$$
$$x_{59} = 56.025068989018$$
$$x_{60} = 37.1755130674792$$
$$x_{61} = 47.6474885794452$$
$$x_{62} = -27.7507351067098$$
$$x_{63} = -84.2994028713261$$
$$x_{64} = 72.7802298081635$$
$$x_{65} = -34.0339204138894$$
$$x_{66} = 5.75958653158129$$
$$x_{67} = -75.9218224617533$$
$$x_{68} = 41.3643032722656$$
$$x_{69} = -44.5058959258554$$
$$x_{70} = -52.8834763354282$$
Данные корни
$$x_{41} = -195.302343298165$$
$$x_{14} = -151.320046147908$$
$$x_{28} = -101.054563690472$$
$$x_{29} = -96.8657734856853$$
$$x_{5} = -94.7713783832921$$
$$x_{34} = -90.5825881785057$$
$$x_{4} = -88.4881930761125$$
$$x_{63} = -84.2994028713261$$
$$x_{55} = -82.2050077689329$$
$$x_{50} = -78.0162175641465$$
$$x_{67} = -75.9218224617533$$
$$x_{11} = -71.733032256967$$
$$x_{17} = -69.6386371545737$$
$$x_{51} = -65.4498469497874$$
$$x_{33} = -63.3554518473942$$
$$x_{40} = -59.1666616426078$$
$$x_{25} = -57.0722665402146$$
$$x_{70} = -52.8834763354282$$
$$x_{10} = -50.789081233035$$
$$x_{45} = -46.6002910282486$$
$$x_{69} = -44.5058959258554$$
$$x_{16} = -40.317105721069$$
$$x_{19} = -38.2227106186758$$
$$x_{65} = -34.0339204138894$$
$$x_{20} = -31.9395253114962$$
$$x_{62} = -27.7507351067098$$
$$x_{43} = -25.6563400043166$$
$$x_{44} = -21.4675497995303$$
$$x_{38} = -19.3731546971371$$
$$x_{49} = -15.1843644923507$$
$$x_{26} = -13.0899693899575$$
$$x_{2} = -8.90117918517108$$
$$x_{8} = -6.80678408277789$$
$$x_{32} = -2.61799387799149$$
$$x_{30} = -0.523598775598299$$
$$x_{27} = 3.66519142918809$$
$$x_{66} = 5.75958653158129$$
$$x_{42} = 9.94837673636768$$
$$x_{35} = 12.0427718387609$$
$$x_{48} = 16.2315620435473$$
$$x_{24} = 18.3259571459405$$
$$x_{46} = 22.5147473507269$$
$$x_{36} = 24.60914245312$$
$$x_{53} = 28.7979326579064$$
$$x_{13} = 30.8923277602996$$
$$x_{1} = 35.081117965086$$
$$x_{60} = 37.1755130674792$$
$$x_{68} = 41.3643032722656$$
$$x_{9} = 43.4586983746588$$
$$x_{61} = 47.6474885794452$$
$$x_{37} = 49.7418836818384$$
$$x_{6} = 53.9306738866248$$
$$x_{59} = 56.025068989018$$
$$x_{54} = 60.2138591938044$$
$$x_{15} = 62.3082542961976$$
$$x_{31} = 66.497044500984$$
$$x_{47} = 68.5914396033772$$
$$x_{64} = 72.7802298081635$$
$$x_{52} = 74.8746249105567$$
$$x_{39} = 79.0634151153431$$
$$x_{57} = 81.1578102177363$$
$$x_{7} = 85.3466004225227$$
$$x_{21} = 87.4409955249159$$
$$x_{18} = 91.6297857297023$$
$$x_{56} = 93.7241808320955$$
$$x_{12} = 97.9129710368819$$
$$x_{23} = 100.007366139275$$
$$x_{3} = 192.160750644576$$
$$x_{58} = 437.20497762458$$
$$x_{22} = 66400.1787274983$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{41}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{41} - \frac{1}{10}$$
=
$$-195.302343298165 - \frac{1}{10}$$
=
$$-195.402343298165$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left(t \right)} < - \frac{1}{2}$$
$$\sin{\left(t \right)} < - \frac{1}{2}$$

sin(t) < -1/2

Тогда
$$x < -195.302343298165$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -195.302343298165 \wedge x < -151.320046147908$$

         _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____  
        /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \  
-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x_41      x_14      x_28      x_29      x_5      x_34      x_4      x_63      x_55      x_50      x_67      x_11      x_17      x_51      x_33      x_40      x_25      x_70      x_10      x_45      x_69      x_16      x_19      x_65      x_20      x_62      x_43      x_44      x_38      x_49      x_26      x_2      x_8      x_32      x_30      x_27      x_66      x_42      x_35      x_48      x_24      x_46      x_36      x_53      x_13      x_1      x_60      x_68      x_9      x_61      x_37      x_6      x_59      x_54      x_15      x_31      x_47      x_64      x_52      x_39      x_57      x_7      x_21      x_18      x_56      x_12      x_23      x_3      x_58      x_22

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > -195.302343298165 \wedge x < -151.320046147908$$
$$x > -101.054563690472 \wedge x < -96.8657734856853$$
$$x > -94.7713783832921 \wedge x < -90.5825881785057$$
$$x > -88.4881930761125 \wedge x < -84.2994028713261$$
$$x > -82.2050077689329 \wedge x < -78.0162175641465$$
$$x > -75.9218224617533 \wedge x < -71.733032256967$$
$$x > -69.6386371545737 \wedge x < -65.4498469497874$$
$$x > -63.3554518473942 \wedge x < -59.1666616426078$$
$$x > -57.0722665402146 \wedge x < -52.8834763354282$$
$$x > -50.789081233035 \wedge x < -46.6002910282486$$
$$x > -44.5058959258554 \wedge x < -40.317105721069$$
$$x > -38.2227106186758 \wedge x < -34.0339204138894$$
$$x > -31.9395253114962 \wedge x < -27.7507351067098$$
$$x > -25.6563400043166 \wedge x < -21.4675497995303$$
$$x > -19.3731546971371 \wedge x < -15.1843644923507$$
$$x > -13.0899693899575 \wedge x < -8.90117918517108$$
$$x > -6.80678408277789 \wedge x < -2.61799387799149$$
$$x > -0.523598775598299 \wedge x < 3.66519142918809$$
$$x > 5.75958653158129 \wedge x < 9.94837673636768$$
$$x > 12.0427718387609 \wedge x < 16.2315620435473$$
$$x > 18.3259571459405 \wedge x < 22.5147473507269$$
$$x > 24.60914245312 \wedge x < 28.7979326579064$$
$$x > 30.8923277602996 \wedge x < 35.081117965086$$
$$x > 37.1755130674792 \wedge x < 41.3643032722656$$
$$x > 43.4586983746588 \wedge x < 47.6474885794452$$
$$x > 49.7418836818384 \wedge x < 53.9306738866248$$
$$x > 56.025068989018 \wedge x < 60.2138591938044$$
$$x > 62.3082542961976 \wedge x < 66.497044500984$$
$$x > 68.5914396033772 \wedge x < 72.7802298081635$$
$$x > 74.8746249105567 \wedge x < 79.0634151153431$$
$$x > 81.1578102177363 \wedge x < 85.3466004225227$$
$$x > 87.4409955249159 \wedge x < 91.6297857297023$$
$$x > 93.7241808320955 \wedge x < 97.9129710368819$$
$$x > 100.007366139275 \wedge x < 192.160750644576$$
$$x > 437.20497762458 \wedge x < 66400.1787274983$$

Быстрый ответ

   /7*pi          11*pi\
And|---- < t, t < -----|
   \ 6              6  /

$$\frac{7 \pi}{6} < t \wedge t < \frac{11 \pi}{6}$$

Быстрый ответ 2

 7*pi  11*pi 
(----, -----)
  6      6   

$$x\ in\ \left(\frac{7 \pi}{6}, \frac{11 \pi}{6}\right)$$