sin(t)<1/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(t)<1/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

sin(t) < 1/2

$$\sin{\left (t \right )} < \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin{\left (t \right )} < \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left (t \right )} = \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left (t \right )} = \frac{1}{2}$$
преобразуем
$$\sin{\left (t \right )} - \frac{1}{2} = 0$$
$$\sin{\left (t \right )} - \frac{1}{2} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (t \right )}$$
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$w = \frac{1}{2}$$
Получим ответ: w = 1/2
делаем обратную замену
$$\sin{\left (t \right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = -35.0811179651$$
$$x_{2} = -81.1578102177$$
$$x_{3} = -30.8923277603$$
$$x_{4} = -66.497044501$$
$$x_{5} = 17438.4572213$$
$$x_{6} = -28.7979326579$$
$$x_{7} = 2.61799387799$$
$$x_{8} = -91.6297857297$$
$$x_{9} = 71.733032257$$
$$x_{10} = 138.753675534$$
$$x_{11} = 6.80678408278$$
$$x_{12} = 84.2994028713$$
$$x_{13} = 19.3731546971$$
$$x_{14} = 69.6386371546$$
$$x_{15} = 88.4881930761$$
$$x_{16} = 59.1666616426$$
$$x_{17} = -93.7241808321$$
$$x_{18} = -22.5147473507$$
$$x_{19} = 46.6002910282$$
$$x_{20} = -49.7418836818$$
$$x_{21} = -24.6091424531$$
$$x_{22} = 38.2227106187$$
$$x_{23} = -60.2138591938$$
$$x_{24} = 90.5825881785$$
$$x_{25} = 44.5058959259$$
$$x_{26} = -43.4586983747$$
$$x_{27} = 40.3171057211$$
$$x_{28} = 94.7713783833$$
$$x_{29} = -85.3466004225$$
$$x_{30} = 134.564885329$$
$$x_{31} = -79.0634151153$$
$$x_{32} = 34.0339204139$$
$$x_{33} = -87.4409955249$$
$$x_{34} = 101.05456369$$
$$x_{35} = -74.8746249106$$
$$x_{36} = 21.4675497995$$
$$x_{37} = -12.0427718388$$
$$x_{38} = 52.8834763354$$
$$x_{39} = 50.789081233$$
$$x_{40} = -68.5914396034$$
$$x_{41} = -62.3082542962$$
$$x_{42} = -100.007366139$$
$$x_{43} = -627.794931942$$
$$x_{44} = -41.3643032723$$
$$x_{45} = 13.08996939$$
$$x_{46} = 31.9395253115$$
$$x_{47} = -56.025068989$$
$$x_{48} = -18.3259571459$$
$$x_{49} = 75.9218224618$$
$$x_{50} = -3.66519142919$$
$$x_{51} = -2650.98060085$$
$$x_{52} = -16.2315620435$$
$$x_{53} = 25.6563400043$$
$$x_{54} = -5.75958653158$$
$$x_{55} = 63.3554518474$$
$$x_{56} = 15.1843644924$$
$$x_{57} = 57.0722665402$$
$$x_{58} = -97.9129710369$$
$$x_{59} = -53.9306738866$$
$$x_{60} = 0.523598775598$$
$$x_{61} = -37.1755130675$$
$$x_{62} = 78.0162175641$$
$$x_{63} = 65.4498469498$$
$$x_{64} = -72.7802298082$$
$$x_{65} = 27.7507351067$$
$$x_{66} = 8.90117918517$$
$$x_{67} = -47.6474885794$$
$$x_{68} = -4454.25478401$$
$$x_{69} = 96.8657734857$$
$$x_{70} = -9.94837673637$$
$$x_{71} = 82.2050077689$$
$$x_{1} = -35.0811179651$$
$$x_{2} = -81.1578102177$$
$$x_{3} = -30.8923277603$$
$$x_{4} = -66.497044501$$
$$x_{5} = 17438.4572213$$
$$x_{6} = -28.7979326579$$
$$x_{7} = 2.61799387799$$
$$x_{8} = -91.6297857297$$
$$x_{9} = 71.733032257$$
$$x_{10} = 138.753675534$$
$$x_{11} = 6.80678408278$$
$$x_{12} = 84.2994028713$$
$$x_{13} = 19.3731546971$$
$$x_{14} = 69.6386371546$$
$$x_{15} = 88.4881930761$$
$$x_{16} = 59.1666616426$$
$$x_{17} = -93.7241808321$$
$$x_{18} = -22.5147473507$$
$$x_{19} = 46.6002910282$$
$$x_{20} = -49.7418836818$$
$$x_{21} = -24.6091424531$$
$$x_{22} = 38.2227106187$$
$$x_{23} = -60.2138591938$$
$$x_{24} = 90.5825881785$$
$$x_{25} = 44.5058959259$$
$$x_{26} = -43.4586983747$$
$$x_{27} = 40.3171057211$$
$$x_{28} = 94.7713783833$$
$$x_{29} = -85.3466004225$$
$$x_{30} = 134.564885329$$
$$x_{31} = -79.0634151153$$
$$x_{32} = 34.0339204139$$
$$x_{33} = -87.4409955249$$
$$x_{34} = 101.05456369$$
$$x_{35} = -74.8746249106$$
$$x_{36} = 21.4675497995$$
$$x_{37} = -12.0427718388$$
$$x_{38} = 52.8834763354$$
$$x_{39} = 50.789081233$$
$$x_{40} = -68.5914396034$$
$$x_{41} = -62.3082542962$$
$$x_{42} = -100.007366139$$
$$x_{43} = -627.794931942$$
$$x_{44} = -41.3643032723$$
$$x_{45} = 13.08996939$$
$$x_{46} = 31.9395253115$$
$$x_{47} = -56.025068989$$
$$x_{48} = -18.3259571459$$
$$x_{49} = 75.9218224618$$
$$x_{50} = -3.66519142919$$
$$x_{51} = -2650.98060085$$
$$x_{52} = -16.2315620435$$
$$x_{53} = 25.6563400043$$
$$x_{54} = -5.75958653158$$
$$x_{55} = 63.3554518474$$
$$x_{56} = 15.1843644924$$
$$x_{57} = 57.0722665402$$
$$x_{58} = -97.9129710369$$
$$x_{59} = -53.9306738866$$
$$x_{60} = 0.523598775598$$
$$x_{61} = -37.1755130675$$
$$x_{62} = 78.0162175641$$
$$x_{63} = 65.4498469498$$
$$x_{64} = -72.7802298082$$
$$x_{65} = 27.7507351067$$
$$x_{66} = 8.90117918517$$
$$x_{67} = -47.6474885794$$
$$x_{68} = -4454.25478401$$
$$x_{69} = 96.8657734857$$
$$x_{70} = -9.94837673637$$
$$x_{71} = 82.2050077689$$
Данные корни
$$x_{68} = -4454.25478401$$
$$x_{51} = -2650.98060085$$
$$x_{43} = -627.794931942$$
$$x_{42} = -100.007366139$$
$$x_{58} = -97.9129710369$$
$$x_{17} = -93.7241808321$$
$$x_{8} = -91.6297857297$$
$$x_{33} = -87.4409955249$$
$$x_{29} = -85.3466004225$$
$$x_{2} = -81.1578102177$$
$$x_{31} = -79.0634151153$$
$$x_{35} = -74.8746249106$$
$$x_{64} = -72.7802298082$$
$$x_{40} = -68.5914396034$$
$$x_{4} = -66.497044501$$
$$x_{41} = -62.3082542962$$
$$x_{23} = -60.2138591938$$
$$x_{47} = -56.025068989$$
$$x_{59} = -53.9306738866$$
$$x_{20} = -49.7418836818$$
$$x_{67} = -47.6474885794$$
$$x_{26} = -43.4586983747$$
$$x_{44} = -41.3643032723$$
$$x_{61} = -37.1755130675$$
$$x_{1} = -35.0811179651$$
$$x_{3} = -30.8923277603$$
$$x_{6} = -28.7979326579$$
$$x_{21} = -24.6091424531$$
$$x_{18} = -22.5147473507$$
$$x_{48} = -18.3259571459$$
$$x_{52} = -16.2315620435$$
$$x_{37} = -12.0427718388$$
$$x_{70} = -9.94837673637$$
$$x_{54} = -5.75958653158$$
$$x_{50} = -3.66519142919$$
$$x_{60} = 0.523598775598$$
$$x_{7} = 2.61799387799$$
$$x_{11} = 6.80678408278$$
$$x_{66} = 8.90117918517$$
$$x_{45} = 13.08996939$$
$$x_{56} = 15.1843644924$$
$$x_{13} = 19.3731546971$$
$$x_{36} = 21.4675497995$$
$$x_{53} = 25.6563400043$$
$$x_{65} = 27.7507351067$$
$$x_{46} = 31.9395253115$$
$$x_{32} = 34.0339204139$$
$$x_{22} = 38.2227106187$$
$$x_{27} = 40.3171057211$$
$$x_{25} = 44.5058959259$$
$$x_{19} = 46.6002910282$$
$$x_{39} = 50.789081233$$
$$x_{38} = 52.8834763354$$
$$x_{57} = 57.0722665402$$
$$x_{16} = 59.1666616426$$
$$x_{55} = 63.3554518474$$
$$x_{63} = 65.4498469498$$
$$x_{14} = 69.6386371546$$
$$x_{9} = 71.733032257$$
$$x_{49} = 75.9218224618$$
$$x_{62} = 78.0162175641$$
$$x_{71} = 82.2050077689$$
$$x_{12} = 84.2994028713$$
$$x_{15} = 88.4881930761$$
$$x_{24} = 90.5825881785$$
$$x_{28} = 94.7713783833$$
$$x_{69} = 96.8657734857$$
$$x_{34} = 101.05456369$$
$$x_{30} = 134.564885329$$
$$x_{10} = 138.753675534$$
$$x_{5} = 17438.4572213$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{68}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{68} - \frac{1}{10}$$
=
$$-4454.35478401$$
=
$$-4454.35478401$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left (t \right )} < \frac{1}{2}$$
$$\sin{\left (t \right )} < \frac{1}{2}$$

sin(t) < 1/2

Тогда
$$x < -4454.25478401$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -4454.25478401 \wedge x < -2650.98060085$$

         _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____  
        /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x68      x51      x43      x42      x58      x17      x8      x33      x29      x2      x31      x35      x64      x40      x4      x41      x23      x47      x59      x20      x67      x26      x44      x61      x1      x3      x6      x21      x18      x48      x52      x37      x70      x54      x50      x60      x7      x11      x66      x45      x56      x13      x36      x53      x65      x46      x32      x22      x27      x25      x19      x39      x38      x57      x16      x55      x63      x14      x9      x49      x62      x71      x12      x15      x24      x28      x69      x34      x30      x10      x5

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > -4454.25478401 \wedge x < -2650.98060085$$
$$x > -627.794931942 \wedge x < -100.007366139$$
$$x > -97.9129710369 \wedge x < -93.7241808321$$
$$x > -91.6297857297 \wedge x < -87.4409955249$$
$$x > -85.3466004225 \wedge x < -81.1578102177$$
$$x > -79.0634151153 \wedge x < -74.8746249106$$
$$x > -72.7802298082 \wedge x < -68.5914396034$$
$$x > -66.497044501 \wedge x < -62.3082542962$$
$$x > -60.2138591938 \wedge x < -56.025068989$$
$$x > -53.9306738866 \wedge x < -49.7418836818$$
$$x > -47.6474885794 \wedge x < -43.4586983747$$
$$x > -41.3643032723 \wedge x < -37.1755130675$$
$$x > -35.0811179651 \wedge x < -30.8923277603$$
$$x > -28.7979326579 \wedge x < -24.6091424531$$
$$x > -22.5147473507 \wedge x < -18.3259571459$$
$$x > -16.2315620435 \wedge x < -12.0427718388$$
$$x > -9.94837673637 \wedge x < -5.75958653158$$
$$x > -3.66519142919 \wedge x < 0.523598775598$$
$$x > 2.61799387799 \wedge x < 6.80678408278$$
$$x > 8.90117918517 \wedge x < 13.08996939$$
$$x > 15.1843644924 \wedge x < 19.3731546971$$
$$x > 21.4675497995 \wedge x < 25.6563400043$$
$$x > 27.7507351067 \wedge x < 31.9395253115$$
$$x > 34.0339204139 \wedge x < 38.2227106187$$
$$x > 40.3171057211 \wedge x < 44.5058959259$$
$$x > 46.6002910282 \wedge x < 50.789081233$$
$$x > 52.8834763354 \wedge x < 57.0722665402$$
$$x > 59.1666616426 \wedge x < 63.3554518474$$
$$x > 65.4498469498 \wedge x < 69.6386371546$$
$$x > 71.733032257 \wedge x < 75.9218224618$$
$$x > 78.0162175641 \wedge x < 82.2050077689$$
$$x > 84.2994028713 \wedge x < 88.4881930761$$
$$x > 90.5825881785 \wedge x < 94.7713783833$$
$$x > 96.8657734857 \wedge x < 101.05456369$$
$$x > 134.564885329 \wedge x < 138.753675534$$
$$x > 17438.4572213$$

Быстрый ответ

  /   /             pi\     /5*pi            \\
Or|And|-oo < t, t < --|, And|---- < t, t < oo||
  \   \             6 /     \ 6              //

$$\left(-\infty < t \wedge t < \frac{\pi}{6}\right) \vee \left(\frac{5 \pi}{6} < t \wedge t < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

      pi     5*pi     
(-oo, --) U (----, oo)
      6       6       

$$x \in \left(-\infty, \frac{\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{5 \pi}{6}, \infty\right)$$