sin(3*x/4+pi/4)<sqrt(2)/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(3*x/4+pi/4)<sqrt(2)/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

                  ___
   /3*x   pi\   \/ 2 
sin|--- + --| < -----
   \ 4    4 /     2  

$$\sin{\left (\frac{3 x}{4} + \frac{\pi}{4} \right )} < \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin{\left (\frac{3 x}{4} + \frac{\pi}{4} \right )} < \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left (\frac{3 x}{4} + \frac{\pi}{4} \right )} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left (\frac{3 x}{4} + \frac{\pi}{4} \right )} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$\frac{3 x}{4} + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
$$\frac{3 x}{4} + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )} + \pi$$
Или
$$\frac{3 x}{4} + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$\frac{3 x}{4} + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
, где n - любое целое число
Перенесём
$$\frac{\pi}{4}$$
в правую часть ур-ния
с противоположным знаком, итого:
$$\frac{3 x}{4} = 2 \pi n$$
$$\frac{3 x}{4} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$\frac{3}{4}$$
$$x_{1} = \frac{8 \pi}{3} n$$
$$x_{2} = \frac{8 \pi}{3} n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{1} = \frac{8 \pi}{3} n$$
$$x_{2} = \frac{8 \pi}{3} n + \frac{2 \pi}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{8 \pi}{3} n$$
$$x_{2} = \frac{8 \pi}{3} n + \frac{2 \pi}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{8 \pi}{3} n + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{8 \pi}{3} n - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left (\frac{3 x}{4} + \frac{\pi}{4} \right )} < \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin{\left (\frac{3}{4} \left(\frac{8 \pi}{3} n + - \frac{1}{10}\right) + \frac{\pi}{4} \right )} < \frac{\sqrt{2}}{2}$$

                            ___
   /  3    pi         \   \/ 2 
sin|- -- + -- + 2*pi*n| < -----
   \  40   4          /     2  
                          

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < \frac{8 \pi}{3} n$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < \frac{8 \pi}{3} n$$
$$x > \frac{8 \pi}{3} n + \frac{2 \pi}{3}$$

Быстрый ответ

  /                        /2*pi            \\
Or|And(-oo < x, x < 0), And|---- < x, x < oo||
  \                        \ 3              //

$$\left(-\infty < x \wedge x < 0\right) \vee \left(\frac{2 \pi}{3} < x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

            2*pi     
(-oo, 0) U (----, oo)
             3       

$$x \in \left(-\infty, 0\right) \cup \left(\frac{2 \pi}{3}, \infty\right)$$

График